Page 296 - 1975_matematika-izium

что действительно совпадает с ВЫЧllс.аенным выражением при
{ ( х) = хn.
Ес.'!1I f (х) = х", то М = (х + 1 ) " - х" является ПОЛIШОМОМ
степени k - 1 со старШIIМ членом k · xlt-I. Отсюда мы заключаем,
что если f (х) - полином степени n со старшим членом хn, то
ll'f(x) - полином степенн n - 1 со стаРШIIМ членом n(n - 1) . . . (n­
- 1 + l ) xn-l. При 1 = n получаем то, что IIУЖНО.
330. Я не смог ни доказать, ни опровергнуть во:>можность та­
кого выбора.
332. Теорема Менелая состоит как раз в том, что равенство ( 1 )
вместе с соглашением о знаке направленных отрезков является НС­
обходимым и достаточным условием КОЛЛlIнеарности точек А/, В, С,
взятых соответственно на прямых АО ОВ/ и В/А. Ее доказатель,
,
.
ство и разнообразные прпменения см : Д. О Ш к л я Р с к и й и д� ,
(соч., цитируемое в комментарии к задаче 89. задачи 131 11 132) .
Ана.lJогичное замечание относится к (2).
340. См., например, Г. М. Ф н х т е н г о л ь ц. Курс дифферен,
циального н интегрального IIсчислення, т. 2, ГИТТ Л, М. - Л., 1948,
стр. 170.
1 1 1
346. Hel{QTopbIe оцеНIШ дЛЯ веднчины -- + __ + __ см. У
Х I Х I Х2
Д. О. Шклярского И др. (соч., цитируемое в комментарии к за-
даче 1 1 6), задачи 1 1 1 в, 1 1 7 а.
349. Поскольку 2уН = 2у · 5 · 3 + 21/, остаткн от деления ЧII­
се.'! 2у на 5 периоднчески повторяются через четыре. Остаток 2 дают
21, 25 н т. д.
Приведенное автором рассуждение неявно предполагает, что
х � О, У � О (а во второй части даже, что х > О) . Прямой провер·
кой убеждаемся, что 50 + 2 = 3 =F 17У ни при каком целом у. Если
же х или у или оба вместе < О, то мы получаем одно из трех урав­
неннй:
17-У (5" + 2 ) = 1 , х > О, У < О,
(1 + 2 . 5 -Х) = 1 7У . 5-Х• Х < О , y � O ,
( 1 + 2 . 5 -X) 17-Y = 5-X, х < о , у < О ,
неразрешимость которых в це.аых числах с указанны:>!н ограНllче­
нпямп на знаки очевидна.
364. Действительно, эти два числа имеют вид А2 11 2А• Если А
больше четырех, то А 2 меньше 2А.
{
365. ( ( х) и 1п ( х) возрастают и убывают одновременно. Но
знак ПРОIIЗВОДНОЙ
lп �
(tn { ( Х»/ =С: ) ' = I -;)n Х 7-
х
=
совпадает со знаком е - х.
372. При повороте \lа бесконечно малый угол d(JJ каждыil из от­
р езков АО, ВО. СО, DO заметает соответственно площадь
.
В0 2 С02 D0 2
2 2
- - d'Р, - - d'Р. - 2- d'Р,
299