Page 291 - 1975_matematika-izium

л
298. См., например, А. О. r е ь Ф о н д, Решение уравнений в
целых числах, серия «Популярные лекции по математике», ГИТТ Л,
М., 1956, стр. 55.
300. См. комментарий к задаче 285.
301. Проведем это рассуждение подробнее. ЕСЛII в треуго.1ы!ике
известны основание 1 н сумма боковых сторон а + Ь = d (а энаЧIIТ,
+
d 1
иэвестен и IIолупернметр р = - -2- ) • то его высоту h можно оце-
иить при помощи формулы Герона:
h �=21/P (р - 1) (р - а) (р - Ь) 1/(d2 - Р) (р - а) (р -Ь) <
=
1
1
1
=
2
l
< +1/d - 1 ( P- �) = � 1/d"- 1 2, ( 1 )
причем равенство имеет место TO.'JbKO в случае а = Ь [так как сум­
ма р - а + р -Ь = 2р - (а + Ь) = 1 постоянная, то П j> оизведение
(р - а) (р -Ь) максимально, когда сомножнтели равны].
Рассмотрим теперь n треугольников с одинаковыми основаНIIЯМII
1, боковыми сторонами й! и bi, а! + Ь; = dj, н высотами hj, причем
IlЭвестна сумма D = L di = L (а, + Ьд. Надо доказать неравен­
i
ство

Складывая неравенства ( 1 ) для всех i, получаем прежде всего
оценку
n n
h �
I i < I -Jd� - Р - (3)
i=1 i=l
Для того чтобы найти максимальное значение правой части, ПРllбег­
нем к математическому анализу. Функция W (х) = 1/ х -12, Х � 1,
2
вогнута (то есть любая дуга ее графика лежит над стягивающей ее
)
хордой ; в этом можно убедиться, проверив, что производная
� х 2
f' (x) =
лJ х- - ., 1 - о
убывает с ростом х, НЛlI из геометрических соображений, поскольку
график f (х) является ПОЛОВИНОЙ ветви гиперболы (рис. 9).
Для вогнутых функций справедливо неравенство

( 4 )

294