Page 290 - 1975_matematika-izium

110. А •• • • • • А п • • ; . CTOIIT В этом треугольнике по Дllагонали под ну­

лями, так что Ао = 1, А. = 1, А 2 = 2, Аз = 5, . . . , А7 = 4 29.

Доказательство предоставляется ЧlIтателю.
278. Вывод формулы для биссектрисы см. в комментарии к за­
даче 61. Используемая нпже формула для медианы получается нз
теореыы о диагоналях парал.�елогра�llIIа: есд!! ВМ = МС н DM =
= АМ = то (рис. 7), ТО
2Ь2 + 2с2 = (2tnа)2 + а2•
283. Если t > 1, то 411-х-I (4z- 2 y+x+1 - [2) > О. откуда
4z - 2 у + хН > 2
/ > 1
11 Z - 2у + х + 1 > О. Значит, обе скобки в равенстве
t - 1 = 4y-x-1 ( 2 Z-211+X+1 + t ) ( 2 Z-2y+x+ 1 - t )
суть нечетные числа. ПОСКО.'lьку все числа в правой части целые по­
ложите.'Iьные, каждое IIЗ НIIХ � 1. Следовате.1ЬНО,
t - 1 � ( 2 z - 2 у + Х +1 + /) > 1 + t ,
что невозможно.
285. СМ. Д. О. Ш к л я р с к и й и др. (соч., цитируемое в ком­
ментарнн к задаче 89) , задачи 106 11 107, а также ССЫJ1ЮI в коммен­
таРIlИ к задаче 1 1 6. Другие соотношеНIIЯ. встречающиеся в рассу­
ждении. читателю проще доказать самому.
288. Эта задача IIмеет красивую геометрическую интерпретацию,
Радиус,веl(ТОР комплексного Чllсла [( х ) по.lучается сложением век­
торов
').n, al",n -I, • • • , а n ,

причем каждый последующий вектор в этом ряду по длнне не боль­
ше предыдущего и повернут по отношению к нему на один и тот же

Рис. 8. о

угол -arg Л. Суммируя векторы, получаем спираль (рис. 9) . Ут­
верждение задачи состоит в том, что спираль может замкнуться,
если только она правильный многоугольник.
289. Если ограНИЧlrrься положительными числами, то это есть не
'1ТО иное, как задача о «золотом сечеюш».
293