Page 293 - 1975_matematika-izium

роенной сумме L р t раССТОЯНIIИ до вершин. Поэтому из (2) мы по­
i
nучаем
6
З � h
i{;; ! l � V (�)2 (5)
'
t
4 � Р � 2 1 _ L р .
L.. l
;:=11
4
Однако сумма L Р , В центре тетраэдра принимает минимальное
i=1
значение, а потому для всех остальных точек мы получаем заве­
домо завышенную оценку, которая, по всей вндимости, не дости-
4
гается. (Даже утверждение о минимальности L Р, не является три-
i=1
виальным. Элементарное доказательство см.: 1. В е r k е s, Einfacher
Beweis uпd Vегаllgеmеiпегuпg еiпеr Drеiесl\suпglеichuпg, Elemente
der Maihematik, 22, ,N g 6 ( 1 96 7), 135-136.)
ЗО4. Выпуклость f (х) проще всего провернть, записав ее в виде
f (х) = I a:-aa�-X =- I :� ( : i ) .
М
11
М
х
i, j= 1 1, 1= 1 ' 1
Каждое слагаемое имеет вид СА", и его вторая ПРОlIзводная > О.
Поэтому f " (x) > о.
Далее, симметрия / означает, что имеет место тождество
( ( х + о х ) = ' ( хо - х ) (проверьте его1). Дифференцируя и полагая
х = О, находим, что " (Хо) = -f'(xo), откуда " ( Хо) = о (так как
(" > О, то хо - т очка MIIHHMYMa, но это нам не понадобится . По­
)
скольку '" > о, " возрастает и " ( х) > " ( Хо) .... о пр'! Х > хо. Сле­
довательно, f возрастает при х > хо·
ЗОВ. Эти утверждения следуют нз рассмотрения первых двух
столбцов, причем возможtlOСТЬ А ==- О отпадает, ибо тогда IIЗ треть­
его столбца 2Т + G � М Е:;; 3, что при Т * О невозможнCI. Кроме
того, автор пропускает возможность G = 5. Теперь могло бы пока­
эаться, что надо проверять на простоту по таБЛllце 180 чисел: в
ОАМЕ дЛЯ первых трех цифр имее тс я 4 · 3 . 3 = 36 возможностей

н для Е - пять (она нечетна). На самом деле это не так, IIбо ком­
бннации не произвольны. Простой анализ показывает, что ОАМ мо­
1
1
жет быть лишь 742, 45 , 752, 59 , 892, 11 так как Щlфра Е нечетна
11 должна быть отличной от уже нмеющихся, то остается проверить
в таблице простых лишь 17 чисе.1!. Это количество можно еще со·
кратить анализом третьего и четвертого столбцов.
3 1 1 . Здесь нужна некоторая осторожность в перестановке сум-
1 kJt
мироваНIIЯ и предельного переходв. Заметим, что й n k = - ctg -
,
n 2n
2
не просто сходи тс я к k1t при n -+ 00, F\O еще JI Gn+ I . " > аn• ". По-

этому S ( n, p) таКЖе монотонна (каждое слагаемое растет и добав.
296