Page 288 - 1975_matematika-izium
P. 288
верки, что пайденный набор ЧIIСе.'1 деflствите.'1ЬНО удовлетворяет си
стеме ( 1 ) - (4)
273. ЭТО утверждение совсем нетривиально (см. Д. о. ш к л я р
с к 11 Й И др., соч. цитируемое в комментарии к задаче 1 1 6 , задача
)
100а . Используемое далее утверждение о периметре эквивалентно
утверждению задачи 1 1 6 (см. тот же комментарий).
274. Д.'1я ПО.чноты решения заметим, что в квадрате со сторо-
("';2)2 ( 42 ) 2
ной <"';2 нельзя разместить без переКРЫТJlЯ два квадрата со сто-
...j2
ронамн --' хотя их общая площадь равна -- + - 2- == 1 .
2
2
275. Рассмотрнм сначала с.чучаЙ, когда ни одна IIЗ точек не
совпадает с нулем. Проведя радиусы-векторы точек г/, мы получпм
не менее семи векторов с общим нача.10М, а потому по крайнеll
3600
мере одпн из углов между ними будет ..;;; - 7- < 600. Пусть это
будет угол 1jJ, образованный радиусами-векторами точек Zi, Zj, при
чем без ограничения общности I Z f l � I Z j l . По теореме КОСIIНусов
2
J Zj - 2, 12 = I 2; r + 1 z 1 2 - 1 Е г 1 cos ljJ <
2 II ,
,
< I 2; r + I г, r - 1 2 ; П 2/ 1 cos 600 =
2
1 2
= 1 2, f + 1 2! 1 ( , , 1 - 1 2 / 1 ) ";;; , р..;;; 1 2т р.
г
Следовательно, IZ / - Z j l < 12 m l .
ЕСЛII же одна из точек совпадает с нулем, скажем 71 = О, то
2
обязат�ы!О I г/ I = I Zm I для i = 1, . . • , n - 1 (в неравенстве ус.чо
ВIIЯ задаЧl1 надо ПО.IJОЖНТЬ j = n). Если 2 ! не лежат в веРШlIнах
прави.ч ьного шеСТИУГОЛЬНlIка, то опять-таки один из углов между их
раДllусами-векторами будет < 600, что позволяет провести предыду
щее рассуждеНllе.
277. Среди номеров i = 1 , 2, • • • , n обязательно найдутся такие,
Д.'JЯ которых а! = i (наПРlIмер, i = 1 обладает ЭlllМ свойством) .
В каждом наборе {а;}, удовлетворяющем УС.ЧОВIIЯМ задачи, выде·
лнм пос.ч еднпЙ из номеров, обладающих указанным свойством, П
разобьем все наборы на n подмножеств:
�k = {{ад; a k = k, а/ < i, k < i";;; n}, k = 1, • _ _ , n.
Каждый набор IIЗ \1l" разбllвается на «голову» al, . . . , а" п
«хвост» aA+I, • • • , а7l, причем их мы можем выбирать незаВиСIIМО друг
от друга. Числа al, . . . , а"_1 удовлетворяют условию задачи, н по
тому IIХ, а значнт, 11 «ГО.човы» можно выбрать А"_I способами (при
/ l = 1 голова определяется однозначно и состоит только из al; Ао
по сделанному СОГ.lJашеНIIЮ таI(же равно 1 ) .
Обозначим да.'1ее ctj = ak+i - (k - 1 ) . Тогда
1 = a - (k - 1 ) ";;; 0. :=!: 1 a k+ I - ( k - 1 ) ";;; 0.2 ";;; . . . ..;;; o.n-fl'
k
11 так как ан; < k + J, то a"+j � k + J - 1 , откуда а; � J . Следо
вательно, пос.'едовательность ctj УДОв.lJетворяет ус..човию задачи, а
потому ее, а знаЧIIТ, н «хвост» можно выбирать А 7I -" способаМII
(снова Прll n = k хвост опреде.чяется единственным образом и
AQ = 1 ) .
29 1
