Page 283 - 1975_matematika-izium

Обозначим снача.'lа чисто формально
.v=-+ --=з 7 k -: + �7 k ::- 2 + -:-::- 3k :-: ) - � ;;;S:= +::=: 3 =.:( k;= + =:=: l ):= +==
э
У = S -:- ( ( 1 )
k
Если этому выражению можно придать какой-то естественный
смысл, то, конечно, должно ВЫПО.� няться соотношение
� � � � � � � �
э
Yk = .v s + 3k -1- (k2 + 3k) __ ___ ( 2)
Yk+1
ИЛII
Y � - ( в + 3k )
Yk+ 1 = k 2 + 3k ( 3 )
Примем (2) и (3) в качестве первого постулата, ограничивающего
выбор h.
Y
Из соотношения (3) вндно, что вся ПОС.�едовательность (УА)
полностью опреде.�яется заданнем своего первого члена, который
может быть ПРОIIЗВОЛЬНЫМ. Поэтому для придания однозначного
CMыc.�a веЛlIчине Уl - а именно к этому мы стремимся - c.�eдyeT
пр"влечь какие-то дополните.�ьные соображения. Естественно СЧIJ­
тать - и это будет нашим вторым постулатом, - что УА JJеотрица­
тельны.
Положим УА = (k + 2)lIh. Тогда (3) приведется к виду
lI k + 1 = (1 + ek) 1I� - ek' ( 4 )
где

Прежде всего заметим, что последовательность lIА "'" 1 удовлетво­
ряет соотношению (4), откуда УА = k + 2 удовлетворяет соотно­
шеНIIЮ (3) . Собственно говоря, автор решеНIIЯ только 11 ограНIIЧИЛСЯ
этим эамечанием. Если же 11" '* 1, то из равенства
1IН - 'I1k = ('I1� - lI k) + ek (lI� - 1 )
I
видно, что Лllбо '1"+1 > 1"\А > 1, Лllбо 11"+1 < 11А < 1 (последнее в
преДПО.�ожении '1" � О).
Рассмотрим вторую 113 этих возможностей, предПО.'Jагая в соот­
ветствии со вторым ПОСТУ.'Jатом, что lI h � о. Ввиду монотонности
существует liт '1А = 11 .. , и, переходя к пределу в (4), находим, что
3
'1", = 11"' , то есть '1.., = О (невозможно 11 ... = 1, так как 11 ... �
� '1" < 1). с.'1едовате.IJbНО, при k > ku будет выполняться нерапен-
1
ство lI k < 2' а потому
=
< 2 · ( � у . '1k } lIk
1IНI
(е" Прll всех k меньше 1 ) . По ИНДУКЦIIII 1Ik.+l < :� • • 8 тогда
lI kt
1)k.+l+l < 2 1+1 - ek,+l'

2 86