Page 284 - 1975_matematika-izium

3
Jl так как ek � fi2' то прн достаточно бо . ,ьших 1 и равая часть от -
рицзте.%на, что ПРИВОДIIТ нас к противоречию.
TaKIIM образом, либо 1)А si 1, либо 1)" > 1 , 11 тогда
1) + 1 = 1)� k ( 1)� - 1 ) > Т)�,
+ е
k
k-
k
п
откуда о индукции 1) > ("rJд3 l , Это означает, что последователь-
ности {у,,}, удовлетворяющие двум иаШIIМ постулатам, бывают двух
видов. Первый соответствует У. = З - зто авторское решеllие за­
дачи. Бо втором выполняется неравенство k
�
k
, - l = (k + 2) ( I y - l
Yk > (k + 2) 1) (5)
Же.llая теперь придать точный СIIIЫС.ll веЩIЧИl1ам y�, мы посту­
ПIIМ следующим образом. Из ( 1 ) оытекает, что
�
==
�
�
==
�
�
�
Yk = ,у 3�� � � � � � � I ) + ' " .у'В+Зn+(n2+Зn) У + !
В+Зk + (kЧ3/г ) -v'в+з ( k +
n
Бозьмеlll IlрОИЗВО.1ЬНУЮ неОТРllцате.1ЪНУЮ последовате.%НОСТЬ
{8 n} = 8 и обознаЧlI1II
xk , n (8) =
З � � � � � � � � � � � � � � � � � �
= ,у В+Зk+(k2+Зk) 1/8 + з (k+l) + . , . �8 + зn (n2 + зn) 8n + 1
Преде.1J lim x k (8), eC.1J1I таковой существует, м ы 11 будем прини-
n -+"" . n
мать за значение ведичины У" в ( 1 ) . Предыдущие рассуждения П03-
ВО.llяют нам указать некоторые условия, Прll которых эти пределы
деЙствите.1JЬНО существуют и даже иногда не зависят от выбора 8.
Прежде всего, если мы возьмем 8" = У", где УА удовлетво­
Нm X = P k , Такнм образом, ПрОНЗВО.ll все еще остается.
ряют соотношенню (3), то при n > k будем иметь X k = Yk и
• n
n-+"" k , n
Докажем теперь, что если
10g 8 n - о (6 )
lim
n-+"" ЗN - ,
то существуют пределы
Y k = lim xk n (8) = k + 2 (7)
n �OO I
(в частности, У. = З).
Задав ПРОИ3ВО.%но У. > 1, построим последовательность У" по
соотношению (З). Б силу (5) и (6) при достаточно бо.llЬШИХ n вы­
ПО.1JНЯется неравенство уn > 8 n п 113 опреде.1Jения Х". n (8) мы нахо­
)ЩМ, что при n > N" (У.) ВЫПО.1J НЯЮТСЯ неравенства
У
xk,n (в) < xk, n ({ }) = Yk'
n
281