Page 285 - 1975_matematika-izium

При YI -+ 1, применяя последовательно соотношение (3) , паходим,
что УН -+ /г + 2. Поэтому для всякого е > О найдется такое y�', а за-

тем и N� = N k ( у7 ), что при n > N; ВЬШО.1lняются неравенства
xk n (8 ) < k + 2 + е. (8)
,
С другой стороны, рассмотрим последовате.�ЬНОСТь 8n = о. Тог­
да, как легко видеть, Х". nН > Х". n Н погому существуют преде.�ы
Y k = lim Xk n (о).
n-+оо •
Кроме того,

а переходя к пределу в равенстве
xk, n + \ = -\! '=-8"""+,...-::"3k::--:+--:":(k:-::2-,+:--::"37k),- X - k -.-n-+-\ .
мы находим, что О" удовлетворяют соотношенням (2) н (3) . Из
продманного нами выше анализа вытекает, что у" = k + 2. Так
как IIмеет место неравенство
k n о � xk n 8 ) ,
X , ( ) , (
то для всякого е > О наftдется такое N;, что при n > N; будет
выполняться неравенство
k + 2 - е < xk , n (О) � xk• n (8). (9)
Вместе с (8) это дает (7).
225. Разумеется, здесь используются внематематические сообра­
жения, хотя этот случай все равно пришлось бы ОТб ОСИТЬ, так как
f
соответствующее уравнение 131 + т = d2 при .s:;;; т .s:;;; 12 не
имеет целочllсленных решений. Еслн же эабыть о продолжительно­
сти че.�овеческоЙ жизни, то задача доиускает еще одно решение:
15 октября 1722 года. В 1937 году возраст 215 лет; 215 +10 = 152.
228. ПринЦlШ дирихле в чистом Вllде.
229. Это рассуждение ошнбочно. По-видимому, ход мыcm! ав­
тора был таков. Из равенства
(Х + 1 ) (х2 - Х + 1) = у 2
видно, что у2 дeJIИТСЯ на х + 1, следовательно, у должен делиться
на Х + 1, слеДОВЗ1ельно,
у2 3
Х 2 +
(х + 1 ) 2 = - Х + 1
3
- цмое число, а значит, 1 должно быть целым. Выдменное
Х +
место неверно: наИРlIмер, fj1 = з6 делится на 4, хоти 6 на 4 н не
делится.
Элементарное решение уравнения ХЗ + 1 = у2 мне неllЗвестно.
хотя я встречал его еще в школьном матемаТllческом кружке.
В. СеРПIlНСКИЙ (<<О решенни уравненнй в целых числах», М., ФIIЗ­
lIIатгиз, 1961, стр. 56) также весьма пеССИМИСТIIЧНО пишет об ЭЛе­
ментарном решении этого уравнеНIIЯ.
288