Page 286 - 1975_matematika-izium

Нез.lIементарпое решение может быть получено так:
х3 + 1 = y 2�x = 3 y 2 _ 1 = ( у + I ) ( y - I).
Общо!'! ианбольший делите.lIЬ чисел у + 1 1I У - 1 доджен быть де­
.'IIITe.lIeM пх разности, то есть это либо 1, либо 2.
Б первом с.lIучае у + 1 и У - 1 взапмно просты, а поэтому ка­
ЖДЫЙ деmпель х ДО.lIжен воАТII ТО.lIЬКО в одно И3 ЭТIIХ Чllсе.lI. Сле­
допате.lIЬНО, х = uv, у + 1 = иЗ, у - 1 = из, и3 - v3 = 2 11 2 де­
лится на и - v > о. Значит, и - v = 1 пло и - v = 2.
Первое ПРИВОДIIТ к противоречню:
2 = ( о + 1 ) 3 - о3 = 3 о2 + 3о + 1 � 1 = 3 ( о 2 + о),
что невозможно. ПОЭТОlllУ u = V + 2. Отсюда
2 = (о + 2)3 - о3 = 6о2 + 12о + 8,
0 = 0 2 + 2 0 + 1,
0 = - 1 , и = 1 .
Это дает первое решение: х = -1, У = о.
Во втором С.'Iучае у - 1 , у + 1, а С.'Iедовате,1ЬНО, и х ДD.lIЖНЫ
быть четными:
у - 1 = 2/;, У + 1 = 21], х = 2�,
причем /; и т) взаимно просты и т) = /; + 1. Отсюда
8�З = х3 = (у + 1 ) (у - 1 ) = 4611 � 2�;З = 6Т).
Снова каждый делите.lIЬ � должен войти ТО.lIЬКО в одно И3 чисел 6,
1). Поэтому С = ио JJ лпбо 6 = 2иЗ, т) = vЗ, либо 6 = и3, v = 20З,
Следовательно, либо
03 _ 2иЗ = ,
1
причем х = 2ио 11 У = 26 + 1 = 4и3 + 1, либо
2о3 - и3 = 1,
ПРllчем х = 2ио, у = 26 + 1 = 2uЗ + 1.
Боспо.lIьзуемся теперь следующей теоремо!'! (В. Н. Д е л о н е,
д. К. Ф а Д д е е в, Теория IIррациона.lIьностеЙ третьей степени, Тру­
ды Мат. нн-та им. Б. А. Стек.lIова АН СССР, т. 1 1 (1940), стр. 261
11 дa.�ee) :
�paвHeHиe АХЭ + уз = 1, где А - целое число, кроме тривuаль­
liого рещения Х = о, у = 1, имеет не более одного целочисленного
рсшсния.
В частносТII, ypaBHeHlle 2ХЗ + уз = 1, два решения которого мы
без труда угадываем: Х = о, у = 1 о Х = 1, У = -1, других це­
лочпсленных решеЮIЙ не имеет (ЦИТllруемые мною авторы сооб­
щают, что этот результат доказал еще л. Эйдер методом «бесконеч­
ного спуска»).
Уравненпе vз - 2uЗ = 1 ПРIIВОДИТСЯ К виду 2ХЗ + уз = 1 , ес.lIИ
ПОJЮЖIIТЬ Х = '-и, У = о. Поэтому либо и = о, 0 = 1 , откуда
х = О и у = +1, Лllбо и = -1, v = -1, откуда х = 2, У = -3.
Уравнение 2vЗ - иЗ = 1 приводнтся к виду 2Х3 + уз = 1 , если
по" ожить Х = О, У = -и. Поэтому .1I l1бо v = о, и = -1, откуда
х = О 1I У = -1, либо v = 1 , и = 1, откуда х = 2, У = 3.
241. Поско.lIЬКУ теорема Стюарта не ВХОДIIТ D программу нашеА
ШКО.lIЫ, а ее формулировка довольно с.�ожна JJ тяже.�овесна Д.lIЯ
289