Page 287 - 1975_matematika-izium

того, чтобы считать основанное на не/!: решеНllе I/ЗЯЩНЫМ, я Прlшеду
другое решение (основанное, в сущности, на той же идее) .
Пусть О (рис. 6) - центр окружности радиуса 15 см, 0\ - ра­
диуса 10 см, 0 - 2 р аДllуса 5 см, О з - радиуса Х см (IIСl<омая) . Тог­
да О\Оз = 10 + Х, 02 0 з = 5 + х, 0\ 0 = 5, 00 = 10 п ОО, , ==;
2
0J

Рис. 6.

= 15 - Х. По теореме косинусов, прнмененной к .60, 0 0з JI
.60 00з:
2
0
(15 - х)2 + 10 2 - 2 · 1 · (15 - х) соз L ОзО0 2 = (х + 5)2,
2
2
( 1 5 - х)2 + 5 + 2 · 5 · ( 1 5 - х) соз L 0з0 0 = (х + 10) .
2
Исключая cos, приходим к тому же уравнеНIIЮ, что и у автора.
242. Без 1<0мбинаТОРНI<И: иайдем КОЭффНЦllеllТ при х n В разложе-
нии бинома ( l + х)2". С одной стороны, он равен C � n ' с другой ,
(l + x )2 n = (l + x )n ( l + x )n = ( I + C�X + • • • + c�xn) x

. Х (1 + C�x + . . . + C�x ) n .
11, ПОДСЧlIтывая КОЭффИЦllенты Ч.�енов степеНII х n ПОС.�е раскрытпя­
скобок, п р иходим 1< нужному р авенству.
252. Можно оБОЙТIIСЬ и без ССЬШКlI на «малую теорему Ферма».
Ес . 1И НII одно IIЗ чисел а, Ь , с не дешlТСЯ на 3, то в равенстве
с
а2 + Ь2 = 2
каждый член при делении на 3 дает остаток I «3/г ± 1 ) 2 = 91г2 ±'
± 6k + 1 ) , ЧТО прИВОДIIТ К ПРОТlIвореЧIIЮ: 2 = 1 .
256. П ризнак деЛИМОСТII на 5 в шестеричной системе аналогичен
признаку делимости на 9 в десятеричной (см. начадо комментария) :
число дещlТСЯ на 5 тогда и только тогда, когда сумма Цllфр его
шестеРIIЧНОЙ записн делится на 5. В нашем случае сумма Цllфр
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15дее = 23шеет дмится на 5.
264. Эти рассуждеНIIЯ доказывают лишь, что «еслll решенне су­
ществует, то -х = у = -v = и = 2», то есть что решение един­
ственно. Логическая строгость требует для завершення решения про-
290