Page 294 - 1975_matematika-izium

nяются ясвые положнтельные слагаемые), а значит, lim S (n, р) (ко­
n-+оо
нечныи илн бесконечный) существует.
При р > 1
n-I n-I
�
(n р
S , ) = L (+ ctg ;; У � L ( k У < L ( : n у < ro,
k=1 k=1 k=1
S
И потому liт ( n, р) конечен.
При р � I 11 n > N
N N
S (n, р) > L (-k- ctg �: у > ( � у,
L k
k=1 k=\

1 )
если n достаточно веЛIIКО (для конечнОГО числа членов можпо по-
1 kn
доvрать единый номер n, при котором n ctg 2il > 7i1i • Отсюда
N
lim S (n, р) > L ( �
k )Р при любом N, что возможно ЛИШЬ, если
k=1
Этот предел бесконечен.
312. В этом довольно раСШIbIвчатом рассуждении неявно пред­
полагается, что конфигурацня больших кругов обладает достаточ­
ной подвижностью. Круги нужно поворачивать так, чтобы при этом
уже совмешенные точки пересечения оставались совмещенными и
чтобы кругн не сливались. Возможность такой свободы действий,
конечно, нуждается в обосновании. В некоторый момент все точки
пересечения моглн бы, например, оказаться кратными, и конфигура­
ЦlIЯ могла бы при этом не допускать никакого дальнейшего шеве­
леНIIЯ без рассыпания этих кратных точек, от чего число точек пе­
ресечеНIIЯ сразу же возрастает.
Невозможность подобной ситуации является кдючевым местом
и в том рассуждеНlШ, которое я хочу предложить.
Д�жажем. что если на сфере даны n разлнчных больших кругов
{n > 2 ) , то либо все оtlИ пересекаются в паре диаметрально проти­
воположных точек, Лlfбо найдется пара точек, в которых пересе­
каются ровно два больших круга.
Прежде всего замеТDМ, что точки пересечеиия распадаются нв
диаметрально противоположные пары. Пусть всего таких пар т и
в диаметрально ПРОТIIВОПОДОЖНЫХ точках l-й пары пересекается d,
больших кругов. Тогда в тех же точках сходится 2d, дуг, и, значит,
всего дуг, на которые разбиты наши боЛЬШllе круги, будет
т т
� L 4d t = 2 L d l (каждая дуга соединяет две точки - отсюда
1=1 i=1
коэффиuиент 1/ 2 ; каждой паре отвечает 2d, + 2di дуг) .
Рассыатрнваемые большие круги разбивают сферу на N обла­
стей. Если среди этих областей есть хотя бы один ДВУУГОЛЬНIIК (то
есть фигура, ограниченная двумя полуокружностями и имеющая два
угла в диаметрально протнвоположных точках) , то все остальные
297