Page 295 - 1975_matematika-izium

боЛЬШl1е круги обязаны ПРОХОДIIТЬ через те же точки. В альтерна­
TIIBHOM с.г.учае каждая область ограничена не менее чем тремя ду-
гами 11 потому удвоенное общее ЧИС,10 дуг ;;;;. : N (каждая дуга
т
разделяет две обласТII . Отсюда N � � L dj•
)
i =1
Но по формуле Эйлера
т
2т -2 L di + N = 2. ')
;=1
Значит,
т т
2m - 2 L d i + � L di �2,
i=1 i=1
т
Зm- L dl �З'
/=1
Это неравенство противоречиво, если все dl ;;;;' 3. Следовательно,
найдется пара точек, в которых пересекаются только два больших
круга.
Теперь докажем по индукции основное утверждение.
При n = 2 оно тривиально верно (два различных больших кру­
га пересекаются в двух точках). Предположим, что это утвержде­
ние верно для IЮНфllгураций из n - 1 большого круга, n - 1 � 2.
Рассмотрнм n раЗЛИЧНЬ.IХ больших кругов. В соответствии с дока­
занны� Dыше вспомогательным утверждением, если число точек пе­
ресечения этих кругов больше двух, то Iшйдется пара диаметрально
протнвоположных точек, в которых пеI-есекаются только два круга
нашей коНфнгураЦНII. �даЛIIМ однн из этих кругов, тогда число то­
чек пересечения уменьшится по крайней мере на две. К оставшейся
конфигураЦИII И3 n - 1 круга применимо индуктивное предположе­
ние. Если все эти n - 1 кругов пересекаются в паре диаметрально
противоположных точек, то в исходной конфигураUlIII будет 2 +
+ 2(n - l ) = 2n точек пересечения (как и в авторском решении).
Если же в конфигурации нз n - 1 круга будет больше двух точек
пересечения. то по нндукционной гипотезе IIX будет не менее
2 (п - 1 ) , а в конфигурацни 113 n кругов - по крайней мере на 2
больше, то есть не менее 21L
328. При фикснрованном шаге h конечные разности опреде­
ляются так:
�! (х) = f (х + h) - f (х),
k k
З
� f (х) = � (� -1f (х» , k = 2, , . . . .
Для данного набора точек 1! = 1 , и, деikтвуя по индукции, нахо-
ДIJМ, что
n
�nf (О) = 1 (п) - C�' (n - 1) + = L (- 1)' C�f(n - О,
[=0