Page 136 - ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ IV-VI классы

Пифагорейцы считали замечательными все числа, обладаю­
щие таким свойством, и называли их «совершенными». Они знали
только три таких числа: 6, 28, 496.
28=1+2+4+7+14;
496=1 + 2 +4 +8+16+31 + 62+124 +248.
В «Арифметике» Никомаха из Геразы (I в. н. э.) имеется чет­
вертое совершенное число: 8128. Никомах писал: «Совершенные
числа Красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны.
Большинство чисел являются избыточными или недостаточными,
в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц их все­
го лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч».
Из сказанного видно, что по мере продвижения от начала в
натуральном ряду совершенные числа встречаются все реже и
реже. В первых 10000 имеется всего 4 совершенных числа. Древ­
негреческие математики уделяли большое внимание вопросу на­
хождения совершенных чисел. В IX книге «Начал» Евклида до­
*
казано, что совершенным является любое число вида 2-р,
где число р = 1 +2 + 22 + ... 2* — простое;
*
k — натуральное число.
Примеры:
1+2х = 3; 2х-3 = 6, или 21 (2« — 1) = 6;
1+2+2а = 7; 22 • 78 = 28, или 22(28 —1) = 28. (1)
Аналогично
24(2®—1) = 496;
2е (2’—1) = 8128.

Никомах заметил, что эти 4 числа оканчиваются попеременно
(поочередно) то цифрой 6, то 8, и ошибочно считал, что это имеет
место для всех совершенных чисел. Между тем установлено, что
четные совершенные числа действительно оканчиваются цифра­
ми 6 или 8, но не попеременно. Например, 5-е и 6-е совершенные
числа оба оканчиваются цифрой 6, 7-е и 8-е — цифрой 8.
Еще Евклид нашел, что четные совершенные числа (С) мож­
*
но вычислить на основании формулы С=2Р~ (2Р—1), где 2Р—1
и р числа простые. Л. Эйлер доказал, что эта формула исчер­
пывает все множество четных совершенных чисел.
Но при каких значениях р число 2Р—1 простое?
Эта задача до сих пор остается нерешенной.
Пятое совершенное число 212(218—1) =33550336 было найде­
но немецким математиком Региомонтаном (XV в.), который,
между прочим, среди первых применял в своих трудах знаки +
и —.В XVI в. немецкий ученый Шейбель нашел еще два совер­
шенных числа: 8589 869 056 и 137438691328 (р=17; 19).
Числами вида 2"—1 много занимался французский математик
М. Мерсенн (1588—1648), известный также своими переводами

135