Page 135 - ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ IV-VI классы

молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, полу­
чаемых от струн разной длины, Пифагор открыл, что если
уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т. е.
высота тона обратно пропорциональна длине струны. От трех
струн можно получить приятное, гармоническое сочетание зву­
ков, если их длины относятся как 6:4:3. Отсюда пифагорейцы
делали вывод, что от чисел зависит гармония и что числа яко­
бы всегда обусловливают свойства вещей и явлений. Умирая,
Пифагор завещал своим ученикам изучать музыку и ариф­
метику.
«Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами
и смертными», «сущность вещей есть число, которое вносит во
все единство и гармонию», «все есть число» — вот какие поло­
жения проповедывали пифагорейцы. В этих односторонних и за­
частую лишенных научного основания утверждениях заклю­
чался, однако, зародыш новой науки. Из мистического учения
Пифагора и его последователей выросла в V—IV и последую­
щих веках до н. э. научная арифметика поздних пифагорейцев.
В «Диалектике природы» Фридрих Энгельс писал: «Пифагор из
Самоса (около 540 г.): число — основное начало... Подобно тому,
как число подчинено определенным законам, так подчинена им
и вселенная; этим впервые высказывается мысль о закономер­
*
.
ности вселенной...»
* *
*
Кроме фигурных чисел (гл. 3, § 5; 26—29), пифагорейцами
были введены и «дружественные» числа. Так были названы два
числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа.
Например: 220 и 284. Делители первого из них, не считая са­
мого числа, так называемые «собственные» делители числа 220,
то есть числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, ПО, дают в сумме
284. Аналогично сумма собственных делителей числа 284, то есть
чисел 1, 2, 4, 71, 142, равна 220. Пифагорейцы знали только одну
пару дружественных чисел. В XVIII в. Леонард Эйлер нашел
65 пар дружественных чисел. Одна из них: 17 296 и 18416. Од­
нако до сих пор еще не найдена общая формула для получения
пар дружественных чисел.
Как было показано выше, число 220 меньше суммы своих
(собственных) делителей — такие числа называли в Древней
Греции недостаточными. Число же 284 больше суммы своих де­
лителей — такие числа называли избыточными. Однако есть
числа, которые в точности равны сумме своих делителей, напри­
мер число 6. Его собственные делители — 1, 2, 3. Имеем 6=
= 1+2+3.

1 Энгельс Ф. Диалектика природы. М., 1969, с. 160.
134