Page 169 - 1975_matematika-izium

Сложив все девять уравнений, мы получим
з ( � + � + �) = аl + а' + а 2 +
а Ь с а
+ Ь. + Ь' + Ь2 + с . + с' + С2 = 3.
ь с
а' Ь' + с'
ь
СJJедовательно, -- + - - = 1 .
а с
[S. S. М., 55, 660 (November 1 9 55) .]
234. Если м ы подели м 3 1 6 на 1 1 , то получим частное,
равное 28, и 8 8 остатке; но 8 : ( 1 3 - 1 1 ) = 4. Следова­
тельно, искомые два слагаемых равны соответственно
·
4 1 3 = 52 и 264. Можно также представить 3 1 6 в виде
суммы чисел 52 + 1 1 · 1 3 = 195 и 264 - 1 1 · 1 3 = 1 2 1 .
235. В шестеричной системе счисления
12 = 1 , 22= 4 , 32 = 1 3 , 42 = 24 и 52 = 4 1 .
Следовательно, F = 1 . Аналогично 1 ] 2 = 1 2 1 , 222 = 524,
332 = 201 3 , 442 = 3344 и 552 = 5401 , откуда Е = 2. Та­
ким образом, первоначаЛЬНQ запись имела вид 1 5 324 =
= ( 1 2 2) 2.
Мы получили также в качестве «бесплатного прило­
жеllИЯ» р а венство 53 241 = (22 1 ) 2 .
236. Приятель Вилли, слишком понадеявшись на ме­
тод «проб и ошибок», УПУСТIIЛ из виду один факт, кото­
О
рый III Г бы ему весьма пр"годиться. Дело в том, что
ы
если мы возьмем м н огочлен Р (х) с цел м и коэффи­
циентаМII и два различных целых числа а и Ь, то
Р (а)- Р ( Ь ) разделится без остатка на а - Ь. Об"зна­
А
чим возраст В и лли через , а то самое число «побольше»,
которое подставлял в уравнение приятель В и лли, - че­
рез N. Тогда 85 - 77 = 8 разделится на N - 7; 77 раз­
делится на А - 7; 85 разделится на А - N и будет спра­
ведливо неравенство 7 < N < А. Отсюда следует, что N
совпадает с одним из чисел 8, 9, 1 1 , 1 5 , а А - с одним из
чисел 14, 18, 84. ПОСI\ОЛЫ<У 85 делится на А - N, число N
должно равняться 9, а А = 1 4 . Таким образом, ВИЛЛl1 IIС­
полнилось 1 4 лет.
.
)
[Д. к. Б. М а р Ш, А. М. М . 64, 593 (October 1 9 57 . J
Многочлен из нашей задачи обязан иметь вид
(х - 7) (х - 9) (х - 1 4 ) ( x) - 3 \: 2 + 52х - 1 4 0.
Q
170