Page 164 - 1975_matematika-izium

1
22 . Кубическими ячейками, очевидно, можно запол­
нить пространство. Рассмотрим часть кубической ре-­
тетки, изображенную на рисунке. Средний куб м ы оста­
ВJlМ нетронутым, а в каждом из «окаймляющих» кубов
проведем плоскости через все шесть п а р противополож­
ных ребер. При этом «окаймляющие» кубы разобьются
на шесть конгруэнтных пирамид с квадратными основа­
ниями и боковы м и ребрами, р а вными половине ДИ8.ГО­
нали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому

кубу, и образуют вместе с последним ромбический до­
декаэдр, причем ребра куба служат диагоналями гра­
ней этого додекаэдра. Отсюда ясно, что ромбическими
додекаэдрами можно заполнить все п р остранство.
Как следствие мы получаем, что объем ромбического
додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро кото­
рого совпадает с м е ньшей диагональю грани данного
додекаэдра.
222. Применяя данное рекуррентное соотношение не­
ско.'1ЬКО раз, МЫ получим
рn = Рn-I + рn-2 = Рn-2 + 2Fn-з + рn-4 =
= Fn-з + Рn-4 + 2 Рn-4 + 2Рn-5 + Fn-i =
= 5Р n-4 + 3 Р n-5·
Далее, Р5 = 5, поэтому каждый пятый член последова­
тельности Фибоначчи делится на 5.
(Е. М. Ш е й е р, А. М. М., 67, 694 (August 1960) .]
165