Page 160 - 1975_matematika-izium
P. 160

х  =  е/2.  Макснмальныi'r  шестиугольник  получится,  когда
       сечение  пройдет  через  середины  ребер  октаэдра.  Этот
       шестиугольник  будет  прави.'I ЬНЫМ,  а  его  площадь  соста­
       ВIIТ  3/ площади  грани ОIпаэдра.
            2
          2 1 1.  Рассмотрим  конечную  числовую  последователь­
       ность  1 ,   2,  . . .   ,  n.  Среди  ее  членов  есть  один  и  только
       один  член  8.  в  разложе Н IIИ  которого  на  простые  сомно­
       жители  2  содержится  в  максимальной  степени.  Обозна­
       чим  наименьшее  общее  кратное  всех  членов  данной  по­
       следовательностн  через  2М.  Умножим  далее  обе  части
       равенства  S  =  1  + '/ + '/3 ' "   + '/n  на  м.  В  правой  ча­
                            2
       сти  каждое  слагаемое,  за  исключением  1 / 8,  после  умно­
       жения  на  М  даст  целое  число.  Число  М/8  не  может
       быть  целым,  поскольку  после  всех  сокращений  в  знаме­
       нателе  этой' дроби  останется  2.  Следовательно,  число
       SM  (а  значит,  и  S)  не может  быть целым.
          2 1 2 .  Каждое  целое  число  можно  представить  в  одном
       из  следующих  видов:  4k,  4k + 1 ,   4k + 2  или  4k + 3.  По­
       ЭТОМУ  квадраты  целых  чисел  представимы  либо  в  виде
       4k,  либо  в  виде  4k + 1 ,   а  сумма  двух  таких  квадратов
       имеет  вид  4k,  или  4k + 1 .   или.  наконец,  4k + 2.  Любое
       нечетное  число  имеет  ВIIД  4k + 1  или  4k + 3;  следова·
       тельно,  не только  среди  трех,  но  даже  и  средн  двух  по·
       следовательных  нечетных  чисел  обязательно  есть  одно,
                                м
       не представимое в  внде су м ы   двух  квадратов.
          2 1 3 .  Пусть  R - сумма  заданных  векторов.  Повернем
      всю  нашу  конфигурацию  вокруг  центра  О  на  2п/n  ра­
      диан.  Тогда  конфигурация  совместится  сама  с  соБОlr,
       а  вектор  R  тоже  повернется  на  2п/n  радиан  и  перейдет
       в  R'.  Ясно,  что  R =  R',  НО  поскольку  эти  два  вектора
      отличаются  направлением, R = R' =  О.
                   [Р.  К  о у  ч  м  э н ,  М. М.,  26,  287  (Мау  1 9 53) .]
          214.  Рассмотрим  канонически  расположенный  эллипс
       Ь2х2 + а2у2 =  а2Ь2•  Геометрическое  место  точек  пересе­
      чения  двух  взаимно  перп€ндикулярны'Х  касательных  к
                                            Р
      ЭТОМУ  эллипсу  представляет  собой  ОI < УЖ НОСТЬ  х2+у2=
       =  а2 + Ь2 *.  Отсюда  следует,  что  если  м ы   зафиксируем
      две  взаимно  перпендикуляrные  прямые  и  будем  пере­
       мещать  эллипс  по  ПЛОСI <ОСТИ  так,  чтобы  он  их  касался,
      то  его  центр  будет  все  время  отстоять  от  точки  пересе­
      чения  этих  прямых  на  расстояние,  равное  (а2 + Ь2) '/2.
       6    З<>К.  753                                      161
   155   156   157   158   159   160   161   162   163   164   165