Page 160 - 1975_matematika-izium
P. 160
х = е/2. Макснмальныi'r шестиугольник получится, когда
сечение пройдет через середины ребер октаэдра. Этот
шестиугольник будет прави.'I ЬНЫМ, а его площадь соста
ВIIТ 3/ площади грани ОIпаэдра.
2
2 1 1. Рассмотрим конечную числовую последователь
ность 1 , 2, . . . , n. Среди ее членов есть один и только
один член 8. в разложе Н IIИ которого на простые сомно
жители 2 содержится в максимальной степени. Обозна
чим наименьшее общее кратное всех членов данной по
следовательностн через 2М. Умножим далее обе части
равенства S = 1 + '/ + '/3 ' " + '/n на м. В правой ча
2
сти каждое слагаемое, за исключением 1 / 8, после умно
жения на М даст целое число. Число М/8 не может
быть целым, поскольку после всех сокращений в знаме
нателе этой' дроби останется 2. Следовательно, число
SM (а значит, и S) не может быть целым.
2 1 2 . Каждое целое число можно представить в одном
из следующих видов: 4k, 4k + 1 , 4k + 2 или 4k + 3. По
ЭТОМУ квадраты целых чисел представимы либо в виде
4k, либо в виде 4k + 1 , а сумма двух таких квадратов
имеет вид 4k, или 4k + 1 . или. наконец, 4k + 2. Любое
нечетное число имеет ВIIД 4k + 1 или 4k + 3; следова·
тельно, не только среди трех, но даже и средн двух по·
следовательных нечетных чисел обязательно есть одно,
м
не представимое в внде су м ы двух квадратов.
2 1 3 . Пусть R - сумма заданных векторов. Повернем
всю нашу конфигурацию вокруг центра О на 2п/n ра
диан. Тогда конфигурация совместится сама с соБОlr,
а вектор R тоже повернется на 2п/n радиан и перейдет
в R'. Ясно, что R = R', НО поскольку эти два вектора
отличаются направлением, R = R' = О.
[Р. К о у ч м э н , М. М., 26, 287 (Мау 1 9 53) .]
214. Рассмотрим канонически расположенный эллипс
Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2• Геометрическое место точек пересе
чения двух взаимно перп€ндикулярны'Х касательных к
Р
ЭТОМУ эллипсу представляет собой ОI < УЖ НОСТЬ х2+у2=
= а2 + Ь2 *. Отсюда следует, что если м ы зафиксируем
две взаимно перпендикуляrные прямые и будем пере
мещать эллипс по ПЛОСI <ОСТИ так, чтобы он их касался,
то его центр будет все время отстоять от точки пересе
чения этих прямых на расстояние, равное (а2 + Ь2) '/2.
6 З<>К. 753 161