Page 161 - 1975_matematika-izium

Примем данные две прямые за оси координат, тогда
центр нашего эллипса будет ближе всего расположен
к этим осям в точках (а, Ь) и (Ь, а) . Следовательно, при
движении эллипса его центр опишет меньшую дугу

;' .",. ,.. - -
у ----........ ,
,
,
/ \ \
I \
I \
I '
I
I
I
\ /
\ I
\ /
\ � -- -- -- � -- � 7 /� x
О ' "
-- ---_ ....... ,,/"/
окружности х2 + у2 = а2 + Ь2, заключенную между эти­
м и точками. (Длина такой дуги равна
а2 _ Ь2 )
'/'
(а2 + Ь2) arctg '2 Ь •
а
5
[А. С т р о й к , М. М., 24 , 23 1 (March 19 1 ) .]
2 1 5 . Общий член последовательности 1 1 , 1 4 , 1 7 . . •
равен 8 + 3n, а общий член последовательности 4, 1О,
ы
1 8 .. . равен n2+3n. Первый цел й куб, превышающий 1 ,
1
равен 27 = 33. Для того чтобы выражение под первым
р а дикалом равнялось 27, соответствующее выражение
под вторым радикаJIОМ должно равняться 43 = 64, по­
скольку 1 1 + 1 6 = 27. Но для того, чтобы под вторым
радикалом стояло 64 = 14 + 50, под третьим радикалом
должно оказаться 53 = 125. В общем случае можно ска­
3
I
ЗrlТЬ, что если под (n + ) - M р а дикалом СТОит (n + 3) ,
то выражение под n-м радикалом равно (8 + 3n) +;
+ (n2 + 3n) {I(n + 3)3 = (n + 2)3. Следовательно, исходная
величина равна 3 *.
[Э. к а р с т, М. М., 32, 1 6 9 (January 1 9 59) .]
2 1 6 . Последовательность Фибоначчи удовлетворяет
2
соотношению Fn+ = Fn + Fn+ I , F, = F 2 = 1 . Если мы
возьмем три члена этоiJ последовательности и обозначим
их в порядке возрастания соответственно через а, Ь и с,
1 6 2