Page 49 - 1975_matematika-izium

2 1 0 . Правильный октаэдр. ПраВIfЛ ЬНЫЙ октаэдр
с ребром е пересекается плоскостью, параллельной од·
ной из ero гранеЙ. НЗllДите пери метр и площадь полу·
ченного сечения.
2 1 1 . Дробное число. Докажем, что выражение
1 I I

1 + 2" + з + . . . + -п
не будет целым ни при каком n > 1 .
2 1 2 . Три нечетных числа. ПокаЖlIте, что не сущест­
вует трех последовательных нечетных чисел, каждое из
которых представ я ло бы собой сумму двух квадратов,
л
отличных от нуля.
2 1 3 . Нулевая векторная сумма. ДокаЖlIте, что CYlll�
ма всех векторов, выходящих из центра праВ\lЛЬНОГО n·
угольника 11 заканчивающихся в его вершинах, равна
нулю.

214. Скользящий эллипс. Пусть заданы две взаимнО
перпендикулярные прямые и пусть какой-нибудь эллипс
перемещается по ШIOскости, постоянно касаясь обеих
прямых. Определите, какую линию щ!Ишет при этом
центр эллипса.
215. Суперпозиция радикалов. Вычислите, чему.
.
.
1
4
равно выражение 1 1 1 + 1 1 4 + 0 11 7 + 1 8 1( . ).
2 1 6 . Прямоугольные треугольники Фибоначчи. Н а й�
ДlIте прямоугольные треугольники, у которых длины CTO�
рон выражаются числами Фибоначчи.
217. Продырявленный шар. Ось цилиндрического от·
веРС1 ИЯ, проделанного в шаре, имеет в длину 1 0 см и ле·
БО