Page 44 - 1975_matematika-izium

и отметим затем на стороне А В точку Q так, чтобы
B Q = ВР. Далее, на СА отмеТИl\l точку R так, чтобы
AR = A Q ; на В С - т очку Р' так, чтобы СР' = CR; н а
АВ - тачку Q ' так, [lТобы BQ' = ВР', 11 т. д. ДокаЖllте,
что полученная таким образом I<ОНСТРУКЦИЯ замкнута (то
естЬ что СР = СР") и что все шесть точек Р, Q, R, Р',
Q ', R' лежат на одной ОКРУЖНОСТII.
1 8 2. Сгруппированные числа. Последовательные He�
четные числа сгруппированы следующим образом: 1 ;
(3, 5 ) ; (7, 9, 1 1 ) ; ( 1 3 , 1 5 , 1 7 , 1 9 ) ; " 0 • Найдите сумму

чисел в n-Й группе.
1 8 3. Шестнадцатиточечная сфера. Может ли у KaKO�
го-нибудь тетраэдра радиус его шестнаДЦатиточечной
сферы составлять половину радиуса сферы, описанной
вокруг этого тетраэдра? (Шестнадцатиточечной назы�
Dается сфера, проходящая через центры окружностей,
описан н ых около граней данного тетраэдра.)
1 8 4. Пересекающиеся окружности. Три точки пере­
сечения трех окружностей, проходящих через одну точку,
не СОDпадающие с этой точкой, лежат на одной прямой.
докажите, что центры этих окружностей и их общая
точка пересечения лежат на не которой новой окруж­
ности.
1 8 5. Соревнования по гольфу. Профессиональные
игроки в гольф решили устроить соревнование между 1 6
членами своего клуба. В каждой встрече участвуют че­
тыре игрока, причем за время соревнований каждый иг­
рок должен оказаться в одной четверке с каждым из
остальных игроков ровно один раз. Как следует распре­
делить участников по четверкам в каждом туре, если
в любом туре каждый участник играет один раз?
1 8 6. Квадратные треугольные числа. Покажите, что
существует бесконечно много чисел, каждое из которых
одновременно и треугольно, и квадратно.
1 8 7. Система с тремя неизвестными. Решите следую­
щую систему уравнений:

x+y +z=6
ху + y z + z x = 1 1
{ x y z=6
1 8 8. « Р азвернутый» многогранник. У некоторого
многогранника удалили все грани, а затем его вершины
45