Page 40 - 1975_matematika-izium

1 6 2. В девятиугольнике. Пусть АВ и ВС - две при­
л ежащие стороны правильного девятиугольника. вписан­
ного в круг с центром О. Пусть, далее, М - середина АВ,
а N - середина р а диуса, перпеНДИКУЛЯРIIОГО к ВС. По ..
кажите, что угол OMN = 300.

1 6 3. Уменьшенная доля. Отец дал своим детям на
развлечения 6 долларов, которые следовало разделить
поровну. Но к компании присоеДИIIИЛИСЬ еще две ЮНLlе
кузины. Деньги были разделены поровну между всеми
детьми, так что каждый ребенок получил на 25 центов
меньше, чем предполагалось р а н ее. Сколько всего было
детей?
164. Бесконечный ряд. Найдите сумму бесконечного
ряда
1 + 2х + 3х2 + 4х3 + . . . , I х I < 1 .
1 6 5. Квадратное поле. Квадратное поле огорожено
дощатым забором, который сколочен из I O -метроВblх до­
сок, расп')ложенных горизонтально. Высота забора рав­
на четырем доскам. Известно, что число досок в заборе
равно площади поля, выраженной в гектарах. Опреде­
лите размеры поля.
1 6 6. Треугольные числа И3 нечетных квадратов. До­
кажите. что каждый нечетный квадрат оканчивается
в восьмеричной системе (то есть в системе с основанием
8) на 1 ; причем если эту единицу отбросить, то остав­
шаяся часть будет представлять собой некоторое тре-­
угольное число.
1 6 7. Вписанные круги. У какого из двух треуголь­
Ников вписанный круг больше: у треугольника со

4 1