Page 37 - 1975_matematika-izium

кругов, причем центр каждого из них не принадлежит
никакому из остальных 5 кругов. Покажите, что у этих
6 кругов нет ни одной общей точки.
1 4 3. УСТНЫЙ счет. Умножьте в уме 96 на 1 0 4.
1 4 4. Уникальная триада. Докажите, что существует
только одно множество из трех различных положитель­
ных целых чисел, не имеющих общего делителя, боль­
шего 1 , и обладающих тем свойством, что сумм а любых
двух таких чисел делится на третье число.
1 4 5. Отгороженный угол. Один из углов прямоуголь­
ной комнаты отгорожен с помощью двух одинаковых
ширм, длина каждой из которых 4 м. Как следует распо­
.' южить ширмы, чтобы площадь отгороженного участка
была максимальной?
1 4 6. Взаимно простые чнсла. Пусть а, Ь, с - цел е
ы
ЧИС.'1а, н е имеющие общего делителя, отличного от 1 , и
пусть I / a + l l Ь = I / c. Покажите, что числа (а + Ь ) ,
(а - с ) и ( Ь - с ) представляют собой точные квадраты.
1 4 7. Диофантова система. Решите в положительных
целых числах следующую систему уравнений:
{ w - ЬЗ - сЗ = 3 аЬс
а2= 2 ( Ь + с)

148. Бимедианы тетраэдра. Докажите, что в пра­
вильном тетраэдре п р ямые, соединяющие середины про­
тивоположных ребер, пересекаются между собой под
прямыми углами.

.
1 4 9. Рассыпанный набор. В ТlIпографии набирали
строку с умножением вида аЬс· Ь са · с аЬ 1 ; но набор рас­
сыпался и цифры произведения перемешались. В резуль­
тате произведение было напечатано в виде 2342355286.
Известно, что а > Ь > с и что в разряде единиц напеча-

I аЬ с - сокращенное обозначенне чнсла, заПИСЫВ<1емого циф­
paMll а, Ь, С; в десятичной СlIстеме аЬс = lOOa + lOb + с. - П рuм.
ред.