Page 34 - 1975_matematika-izium

Восстановите все числа и покаЖIlте, что решение дан­
IIОЙ задачи единственно.
1 2 4. Пересечение больших кругов. Известно, что на
сфере n больших кругов в Общем случае пересекаются
в n (n - 1) точках. Каким образом следует расставить
в этих точках числа 1, 2, . . . , n (n - 1) , чтобы сум ы
м
чисел, расположенных н а каждой ОI<РУЖНОСТИ, были
равны между собой. (Напомним, что большие круги ле­
жат в плоскостях, проходящих чер�з центр сферы . )
1 2 5. Дорогой клуб. Десять человек решили основать
клуб. Если бы их было на 5 человек больше, тО каждый
BlIec бы на 1 0 0 долларов меньше. СI<СЛЬКО денег внес
каждый из членов?
1 2 6. Биномиальные коэффициенты. Найдите такое
наибольшее значение у, чтобы в разложении некото­
рого бинома у последовательных коэффициентов ОТНОСII­
лись между собой как 1 : 2 : 3 : . . . : у. Определите это раз­
.'lOжеНие и выпишите соответствующпе коэффициенты.
1 2 7. lJ и сло, которое де.'1ИТСЯ на 8640. Покажите, что
при любом целом х число
7
9 - 6х + 9х5 - 4хЗ
х
делится на 8640.
1 2 8. Разрезанный пятиугольник. П я тиугольник со­
стоит из квадрата, к одной стороне I<СТОРОГО симмет­
рично п р исоеДllнены два прямоугольных равнобедрен­
ных треугольника. Разрежьте этот пятиугольник на Трll
части так, чтобы из ннх можно было сложить новый
разнобедренный прямоугольныii треУГОЛЬНIIК.

1 2 9. Бесконеtlное произведение. В ы числите следую­
щее бесконечное произведение: 3 J • 9'/9 · 2 7':27 . . .
.
•

1 3 0. Невозможный квадрат. Докажите, чтО ни при
К"ком целом ПОложительном n число n4 + 2nЗ + 2n2 +
� 2n + 1 не может быть точным квадратом.
1 3 1 . Хорды в круге. Некоторая окружность разде­
lJeHa па n равных частей. Каждая точка деления
35