Page 36 - 1975_matematika-izium

1 3 7. Днофантово ypaBHeH.le. Докажите, что при лю­
БО�1 целом положительном а уравнение х 2 - у2 = аЗ раз ­
решиМО в целых числах.
1 3 8. Разбиение одного треугольника на два подоб­
ных. Покажите, что любой заданный треугольник можно
прямwми разрезами разделить на четыре части, из ко­
торых за гем удается сложить два треугольника, подоб­
ных данному.
1 3 9. Передвигая цифры. Некое число, I<OTopoe запи­
сывается с помощью менее чем 30 цифр, начинается
(если двигаться слева направо) с цифр 1 5 , тО есть имеет
ВIIД 1 5 ' " . Если мы умножим его на 5, то результат
можно получить, просто передвинув эти две цифры н а
правый конец; в нтоге получится число вида . . . 1 5 . Най­
ДlIте I1сходное число.
1 4 0. Вершины тетраэдра. Покажите, что у любого
(не обязате.ТIЬНО правильного) тетраэдра есть пО крайней
мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
1 4 1 . Счастливые узники. Некий тюремщнк, осуще­
ствляя частичную амнистию, поступил следующим об­
разом. Сначала он открыл все камеры. З а тем запер
I<аждую вторую камеру (в этой тюрьме все камеры
были расположены в один ряд) . На третьем этапе он
повернул ключ в I{аждой третьей l<aMepe (при очеред­
ном повороте I<ЛIOча открытая камера запирается, а за­
)
крытая отпирается . Продолжая действовать подобным
образом, тюремщик на 1l-М этапе поворачивал ключ
в I<аждой п-й камере. ЗaI<ОНЧИВ на этом, он в ы пустил
всех заключенных, которые Оl{азались в открытых каме­
рах. Укажите номера камер, в которых сидели эти сча­
ст ЛIlВЧИКИ.
1 4 2. Ни одной общей точки. На плоскости даны 6

31