Page 32 - 1975_matematika-izium

1 1 3. Отношение объемов двух м н огогранников.
у прав ильных тетраэдра и октаэдра длины ребер равны.
Найдите отношение их объемов, не вычисляя объема
каждого из данных многогранников.

1 1 4. Заполнение пространства. Покажите, что п р о·
странство можно заполнить I<ристаллической структу·
рой, ячейки которой имеют форму правильных октаэд­
ров и тетраэдров. (Под кристаллической структурой мы
понимаем здесь гакое разбиение пространства на
ячейки, которое получается периодическим повторением
одной и той же исходной комбинации ячеек.)
] ]5. Простое умножение. Сократите, н а сколько это
возможно, дробь 1 1 6 690 1 5 1 /427 863 887.
] ] 6. Сумма синусов. Докажите, что в произвольном
треУГОЛЬНИI<е сумма синусов всех его углов не превосхо-
3 -VЗ
дит -2- ' причем равенство достигается только в слу-
чае равностороннего треугольника.
] ]7. Два парома. Два парома ходят между двумя
противоположными берегами реки с ПОСТОЯННЫМII ско­
ростями. Достигнув берега, каждый из них тут же на­
ч и нает двигаться в обратном направлении. Паромы
отчалили от противоположных берегов одновременно,
DСТjJетились впервые в 700 м от одного из берегов, по­
плыли дальше I(аждый к соответствующему берегу, за­
тем повернули назад и вновь встретились в 400 м от
другого берега. Определите в уме ширину реки.
] ]8. За обедом. У Альберта и Берты Джонс пятеро
детей: Кристина, Даниель, Элизабет, ФредеРIП< и ГрэЙс.
Отец решил, чтобы в течение не которого цш\Ла обедов
все члены семьи ежедневно рассаживались за круглым
столом по-новому, причем за весь такой цикл каЖДЫlr
член семьи должен точно по одному р а зу посидеть
2 3ак. 753 3 3