Page 28 - 1975_matematika-izium

ОJ{РУЖНОСТИ. Докажите. что вел и чина (РА)2 + (РВ)2 +
+ (рС)2 постоянна.
А

87. Два числа. Покажите. что если х и у - положи­
тельные целые числа и у > 2. то 2х + 1 не делится н а
2Y- I .
88. Выбор пары. Из перечисленных ниже пар чисел
одна и только одна не удовлетворяет уравнению 1 8 7х­
- 1 0 4у = 41 . Какая именно?
1) х = 3, у = 5 ; 2) х = 1 0 7, У = 1 9 2;
3) x = 2 1 1 , у = 379; 4) x = 3 1 4. у = 565;
5) х = 4 1 9 . у = 753.
89. Пересечение медиан. Докажите. что медианы АА',
ВВ'. СС' произвольного треугольника АВС пересекаются
в сдной точке.
90. Удивительный квадрат. В какой системе счисле­
ния число 1 1 1 1 1 представляет собой точный квадрат?
9 1 . Многоугольник вписан в 9ЛЛИПС. Покажите, что
в эллипс, оси которого не равны между собой, нельзя
вписать правильный м н огоугольник. содержащий более
четырех сторон.
92. Телефонный разговор с Синкьянгом. Один человек
ожидал, когда ему предоставят телефонный разговор
с Синкьянгом. От нечего делать он стал выписывать
число 0'12345 ...• у которого в десятичном разложении на
n-м месте стоит n. Будучи аккуратным. человек быстро
производил необходимые выкладки и записывал число
1
в стандартном виде . Покажите, что он скорее дож­
.t,ется телефонного разговора, чем выпишет цифру 8.
93. Загон для скота. Владелец одного ранчо решил
огородить прямоугольный загон для скота площадью

I И:>'Iеется в виду, что все п р омежуточные вычисления прово­
дятся в уме. - ПРUМ. ред.
29