Page 23 - 1975_matematika-izium

получится равенство { ( А) = А. Заметьте также, что
f ( O)=P, где Р-простое число, большее А.
Сколько лет сыну профессора?
59. Положение в пространстве. Пусть нам дана
плоскость Е и три неколлинеарные ТОчки А, В, С, pac�

положенные по одну сторону от Е и лежащие в плоско­
сти, пересекающейся с Е. Возьмем на плоскости Е три
произвольные точки А', В' и С'. Обозначим через L, М,
N соответственно середины отрезков АА', ВВ', СС', а че­
рез S - центр тяжести треугольника LMN. Пусть теперь
точки А', В' и С' перемещаются по плоскости Е не­
за�исимо друг от друга. Где при этом может оказаться
точка S?
60. Метеорологические наблюдения. На метеостан­
ции заметили, что в течение некоторого периода вре­
мени, если утром шел дождь, то вечером было ясно,
а если дождь шел вечером, то было ЯСНО утром. Всего
было 9 дождливых дней, причем б раз выпадали ясные
вечера и 7 раз было ясным утро. Сколько дней охваты­
вал весь этот период времени?
6 1 . Теорема ШтеЙнера-Лемуса. Докажите, что если
биссектрисы двух внутренних углов некоторого тре­
угольника равны, то этот треугольник р а в нобедренный.
62. Хула-хуп. Представьте себе стройную девушку,
которая замерла на мгновение, в то время как I30КРУГ
ее талии вращается ( б ез скольжения) обруч хула-хуп.
Талия девушки имеет форму окружности, диаметр 1<0-
торой вдвое меньше диаметра хула-хупа. Покажите, что
после одного оборота обруча точка на нем, находив­
шаяся первоначально в соприкосновении с таЛией де­
вушки, проходит расстояние, равное периметру квад­
рата, описанного вокруг талии.

24