Page 20 - 1975_matematika-izium

выписать только первые два члена х20 - 2 0 X19, прежде
чем учитель вытер доску; однако он запомнил, что сво­
бодный член равнялся +1. Не поможете ли вы нашему
незадачливому герою решить это уравнение?
42. Ребра м н огогранника. Покажите, что в трехмер­
ном пространстве ни у какого многогранника не может
быть р о вно семь ребер, в то время как и м еются много­
гранники, у КОТОРЫХ число ребер равно л ю бому другому
целому числу. которое больше пяти.
4 3 . Простое сравнение. Покажите, что 63! = 6 Н
.(mod 7 1 ), то есть что 63!-61! делится на 71.
44. Треугольник оказывается равносторонним. Пока­
жите, что есл и а, Ь, с - стороны некоторого треуголь-
ника и
а2 + Ь2 + с2 = аЬ + Ьс + с а ,
ro этот треугольник обязательно равносторонний.
45. Проще, чем кажется. Вычислите корень
( 1· 2 . 4 + 2 . 4 . 8 + 3 . 6 . 12 + . .. )'/5
1·3·9+2·6·18+3·9·27+ ... .
46. Дом н о и шахматная доска. Если из шахматной
и
доски 8 Х 8 вырезать два квадрата ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
цветов, то можно ли оставшуюся часть доски полностью
п о крыть костяшками домино ( к аждая из костяшек по­
крывает роино два квадрата ?
)
OJ

47. Ч и словое равенство. Покажите, что
1110·1111.11 12.1113={l235431)2- 1
в любой системе счисления с основанием, большим 5.
48. Книжная серия. Некая серия книг публиковал ась
с интерв а лом в семь лет. Когда вышла в свет седьмая
книга, сумма всех лет, в которые ВЫХОДИЛИ книги этой
серии, р а внялась 1 3 524. Когда была опубликована пер·
вая книга серии?

2.L