Page 24 - 1975_matematika-izium

63. Деление круга на восемь частей. Покажите, что
если k - произвольное действительное число, то кривая
х4 + kхЗу - 6х2у 2 - kхуЗ + у4 = О
деЛIlТ окружность х2 + у2 = 1 на восемь равных частей.
64. Арифметическая прогрессия, лишенная степеней.
Найдите арифметическую прогрессию, состоящую нз
целых чисел, с произвольно большим числом членов,
ни один ИЗ которых не представляет собой точную r-ю
степень для r = 2, 3, . . . , n.
65. Площадь многоугольника. Найдите площадь
многоугольника, изображенного на рисунке.

66.1 Уравнение в факториалах. Найдите все решения
уравнения
n!·(n - 1 ) 1 = ml

67. Два треугольника. Покажите, что если отрезки
-
. / I
а, Ь, с образуют треугольник, то отрезки -V а, -Уь, 'V с
также образуют некоторый треугольник.
68. Наибольший угол в круге. Пусть в н утри некото­
рого круга заданы две точки А и В. ДЛЯ какой из точек
С, расположенных на окружности, угол АСВ принимает
наибольшее значение?
69. Определитель магического квадрата. Пусть S­
сумма всех элементов магического квадрата третьего
ПОрядка, составленного из целых чисел, а D - опреде­
литель этого квадрата, если последний рассматривать
как матрицу. Покажите, что D / S - целое число.
70. Неквадратные пятизначные числа. Докажите, что
никакой точный квадрат нельзя записать в десятичной
Системе с помощью ровно пяти различных цифр, одно­
временно четных или одновременно нечетных.

I Здесь и далее курсивом отмечены задачи, решение которых
выходиr за рамки элементарной математики. - Прuм. ред.
25