Page 78 - 1975_matematika-izium

владельцу лодки назначить встречу с пассажиром,
чтобы его чистый доход (на пути от А до берега и далее
до В) был максимален?
388. Три салфетки. Одна л е ди сделала 3 круглые
салфетки радиусом соответственно 2, 3 и 1 О дюймов.
она положила их на круглый Стол так, чтобы каждая
салфетка касалась двух остальных и края стола. Чему
равен радиус крышки стола?
389. Ученица Декарта. До нас дошла забавная исто­
рl1Я о том, как Декарт предложил одной из своих титу­
лованных учениц знаменитую задачу Аполлония: по­
строить окружность, касательную к трем заданным
ОI{РУЖНОСТЯ . дабы в ы разить свое скрытое презрение
М
к претензиям ученицы прослыть способной, он не преду­
предил бедную девушку, что ей следует воспользоваться
методами синтетической геометрии. Она же, п р именив
его новый аналитический метод, попала в ловушку,
сведя задачу к системе трех квадратных уравнений, ко­
торую не сумела решить. Покажите, каким образом она
могла бы выбраться из этой ловушки.
390. Перестановка цифр. 80зьмем некоторое число,
записанное в произвольной системе счисления, 11 пере­
ставим его цифры произвольным образом. ДOI<ажите,
что разность между этими двумя числами делится на
число, на единицу меньшее основания данной системы
счисления.
391 . П р инцип Ферма. Примените прИ/щип Ферма
к круглому зеркалу. Другими словами, если внутри не­
которого круга заданы две точки А и В, то требуется
найти на окружности точку Р, такую, что величина
А Р + РВ принимает экстремальное значение.
392. Центральная симметрия. Докажите, что если
люб а я прямая, проходящая через фиксированную внут­
реннюю точку О четырехугольника A B CD, разбивает его
периметр на 2 части равной длины, то этот четырехуголь­
ник - параллелограмм.
393. Запутанное завещание. У одного пожилого
джентльмена было 3 замужние дочери: миссис Джонс,
миссис Смит И миссис Уайт. У каждой из них было
ровно по одному ребенку. джентльмен умер, оставив
все состояние своим дочерям, зятьям и внукам, причем,
согл а сно завещанию, все деньги следовало разделить
между ними следующим образом.
79