Page 82 - 1975_matematika-izium

Кстати заметим, что, выБРRВ четырехугольник пря­
l\IОУГОЛЬНЫМ , м ы тут же получим теорему Пифагора.
6. Напишем следующую цепочку р а венств:
+ уВ) =
х9 + у9 = (х + у) (хВ - х7 У + хбу2 _ • • •
= (ХЗ + уЗ) (хб - хЗуЗ + уб) =
== (х + у) (х2 - ху + y� (хб - хЗуЗ + уб),
откуда
+ уВ = (х2 - ху + у2) (хб - х2уЗ + уб ).
хв - х7у + хбу2 + • • •
[э. С е й б о л д, М. М., 34, 434 (Novembcr 1 9 61 ) .]
7. Так как ( 1 0 а + 5) 2 = 1 0 0а2 + 1 0 0а + 25 = а (а +
+ 1 ) 1 0 0 + 25, мы получаем, что (85 ) 2 = 8 · 9 · 1 0 0 + 25 =
= 7225*.
[М. М., 24, 273 (Мау 1 9 5 1 ) . ]
8. Уравнение х4 - 5хЗ - 4х2 - 7х + 4 = О можно пе­
реписать в виде (х2 - 2 ) 2 = 5хЗ + 7х. Поскольку при
любом отрицательном х левая часть уравнения положи­
тельна, а правая отрицательна, исходное уравнение не
может иметь отрицательных корней.
[Р . Е. Х о р т о н , М. М., 24, 1 1 4 (November 1 9 50) .]
9. Рассмотрим все прямые, определяемые всевоз­
можными п а рами наших отмеченных точек. Возьмем не­
которую точку вне данного круга, не лежащую ни на

\
/

одной из этих пря м ы х. Н роведем через эту точку пря­
мую так, чтобы все отмеченные точки оказались справа
от нее. Будем теперь поворачивать полученную прямую
вокруг данной точки слева н а п раво. В п р оцессе своего

83