Page 87 - 1975_matematika-izium

энтных между собой треугольншюв. Поэтому их П.'IQ.
щади находятся между собой в отношении 2 : 3.
[М. М., 34, 308 (Мау 1 9 6 1 ) .]
22. Если n четно 11 м ы n р а з перевернем чаШI\lI,
оставляя при каждо't очередной манипуляции нетропу,
той новую чаШI<У, то в итоге каждая чашка llеревеРllется
n - 1 раз и окажется расположенной кверху дном.
Если n нечеТlЮ, то будем писать возле каждой пра­
вильно стоящей чашки + 1, возле каждой чашки, пере­
вернутой вверх дном, - 1 . Тогда вначале пронзведеllllе
всех этих чисел равно + 1 . Каждый раз переворачивая
ч а Ш I <И, мы м е н я ем положение (n - 1 ) , то есть четного
ч и сла чашеIС Поэтому ПРОllзведеНlIе наших чисел на
каждом шаге будет по-прежнему равно + 1 , а в итоге
мы хотим получить произведение, р а вное - 1 , что, оче­
видно, невозможно.
[Е. п. с т а р к.]
23. Все, что надо знать для решения задачи, - это
что х n - у n при n = О, 1 , 2, . . . делится на х - у. llусть
величина, которую вычислял профессор, р а вна Р ( 1l .
)
Тогда, поскольку 2 1 4 1 - 1 8 63 = 1 7 70 - 1 4 92 = 278,
Р ( n) делится на 278 при любом n. АнаJ10ГИЧНЫМ обра­
зом 2 1 4 1 - 1 7 70 = ] 8 63 - 1 492 = 371 , числу взаимно
п р остому с 278. Таким образом, Р ( n) всегда делится на
]
278· 3 71 = 53· 9 46 и, разумеется, на само число ] 9 46.
[Е. п. С l а р к , А. М. М., 54, 43 (January 1 9 47) .]
24. Если Ь - период в десятичном представлеНИIl
числа, обратного к а, то все цифры произведения аЬ ­
девятки. Далее, 99 = · 1 1 , 999 = · 9 · 3 7, 9999 = 9 · 1 ] ·
3
9
· 1 0 1 , 99999 = 9 · 4 1 · 2 7 1 и 999999 = 3 · 7 · 9 · 1 1 · 1 3 · 3 7. По­
следние шесть чисел и являются ИСКОМЫМИ наИllIень­
шими различными целыми числами, удовлеТВОРЯЮЩЮIll
заданному условию. действительно,
I I
3 = 0,333333 . . . lТ = 0,090909 . . .
I I
"7 = 0 , 1 4 2857 тз = 0 ,076923 . . ,

I
J
0
"9 = , 1 1 1 1 1 1 37 = 0,027027 . . ,
[М. М., 35, 3 1 1 (November ] 9 62) .J.