Page 85 - 1975_matematika-izium

санной сферы, как площадь квадрата к площади впи­
санного в него круга *. Поэтому
4wЗ
16
V = -- . - 4 = -- 16гЗ = - C M 3
3 n 3 3 •
[л. М о з е р , М. М., 25, 290 (Мау 1 9 52) .]
Отсюда следует, что общую часть двух данных ЦlI­
линдров можно разбить на бесконечно малые пирамиды,
вершины которых лежат в точке пересечения осей ци­
линдров, а их основаниями служат элементы цилиндров.
Все такие пирамиды имеют высоту, равную единице. Сле­
дователыlO, площадь nOBepXHOCTI{ общей части цилинд­
ров р а вна 1 6 см2 •
[дж. х. Б а т ч а р т, М. М., 26, 54 (September 1 9 52) .]

16. Выпишем в строчку n единиц с п р омежутками
между ними. Ясно, что существует взаимно-однозначное
соответствие между представлениями n в виде суммы
и способами заполнения (n - 1 ) промежутков между
единицами, куда м ы либо ничего не вставляем� л и бо
вставляем знак +. Таким образом, с каждым из (n - 1 )
промежутков м ы можем поступить двумя р а ЗЛИЧНЫМII
способами. Следовательно, число различных способов,
которыми можно представить целое число в виде суммы
целых положительных слагаемых, равно 2n-1•
[У. М о з € р , Р. М. Е. J., 1, 1 8 6 (November 1 9 5 1 ) . ]
1 7 . Для любого полинома ( ( х) число { О ) р а вно сум­
ме коэффициентов. EcJН1 эта сумма равна нулю, то f (х)
делится на х - 1 . Поскольку 1 - 2 + 3 + 4 - 6 = О, от­
сюда следует, что х = 1 является корнем нашего урав­
нения независимо от того, в каком порядке скобки за­
полнены данными числами.
1 8 . П р едположим, что ребра нашего куба закреп­
лены в вершинах шарнирно. Приподнимем куб за одну
из вершин; ребра провиснут, образовав конструкцию,
состоящую из трех последовательно соединенных групп
проводников, каждая из которых в свою очередь СОСТОИТ
соответственно из трех, шести и трех параллельно соеди­
ненных проводников *. Концами полученной KOHCTpyK�
р
ции служат как раз противоположные ве ш ины исход-
�6