Page 81 - 1975_matematika-izium

м
Это и еще 365 других доказательств теоре ы П и фЗ4
гора можно найти в книге Е. Е. S. L о о m i s, The Pytha­
gorean Prnposition, Ed\vards Brothers, Апп АгЬог, Michi­
gan, 1 9 40.
3. Непосредствешюй проверкой убеждаемся, что чет­
верка чисел ( 1 , 2, 3, 4) удовлетворяет первому и четвер­
тому, а также второму и третьему уравнениям. По­
скольку ВСе уравнения систеl\IЫ симметричны относи­
тельно х, у, Z, Ш, то остальные 23 перестановки чисел 1 ,
2 , 3 , 4 тоже являются решениями данной системы. Н о
произведение степеней всех четырех уравнений равно 4 ! ,
поэтому других решений у нашей системы нет *.
[М. М., 23, 21 1 (March 1 9 50) .]
4. Отношение числа ответов каждого типа равно об­
р а тному отношению соответствующих ОЧI<ОВ. Следова-
5
тельно, число правильных ответов равно 5 + 8 · 2 6 = 1 0 .
[М. М., 3 1 , 237 (March 1 9 56) .]
5. Во вписанном четырехугольнике ABCD проведеl\f
отрезок АЕ так, чтобы точка Е лежала на диагонали BD
и чтобы угол ВАЕ равнялся углу CAD. Тогда треуголь­
ник ВЕА окажется подобным треугольнику CD.4, а тре-

с
угольник AED - подобным треугольнику АВС. СЛЕ'.lJOва­
тельно, АС : АВ = CD : ВЕ и АС : AD = ВС : ED. Отсюда
А С · В Е = B · C D и A C · E D = AD · BC. Складывая эти
A
два р а венства и замечая, что ВЕ + ED = BD, получим
АС · BD = A B · СР + A D · ВС,
что и доказывает теорему Птолемея.
[Р. М а к к э й , S. S. М., 35, 3 1 4 (March 1 9 35) .]