Page 83 - 1975_matematika-izium

движения эта прямая будет последовательно проходить
через отмеченные точки, причем она не сможет прохо­
дить одновременно более чем через одну такую 10ЧI{У.
Следовательно, повернув прямую так, чтобы она после­
довательно прошл а ровно через миллион отмеченных то­
чек, и зафиксировав ее в этом положении, МЫ и получим
искомую прямую.
[Г. у и л л с, М. М., 37, 206 (Мау 1 9 64 ) . ]
1 0 . Предположим, что существует самое большое
простое число р. Рассмотрим ЧИС.l 0, на единицу превы­
шающее произведение всех простых чисел, меньших или
равных р, то есть
Q = 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · р + l .

� а м етим теперь, что Q не делится ни на одно простое
число, участвующее в написанном выше произведении
(поскольку при делении Q на любое из этих qисел <хта­
ток будет р а в ен 1 ) . Следовательно, либо Q само про­
стое, либо, если оно составное, разлагается в п р оизведе­
ние простых сомножителей, каждыi! из которых больше
р. В любом случае существует простое число, большее
ь
р. З н ачит, среди простых чисел нет наибол ш его.
[Е в к л и д. Начала, т. I I I , М.-Л., Гостехиздат, 1 9 50,
кн. IX, предложение 20.]

Даже будучи хорошо известным, это красивое К" а с­
l
сическое доказательство, при надлежащее Евклиду, по
всем I{ритериям можно отнести J{ тем решениям, кото­
рые заслуживают названия элегантных.
1 1 . Поскольку (1 = - 1 , i8 = 1 , мы получаем
27 + 8i 27 + 8i9 = 9 _ '3 + '6 5 + '
3 + 2iЗ = 3 + 2iЗ 6l 4 l = 6l .

[Дж. М. Х а у е л л , М. М., 26, 287 ( Л \ау 1 9 53) . ]
1 2 . В общем случае, если у. нас еСть две пересекаю­
щиеся области, площадп КОТОБJJЫХ равны соответственно
а и Ь, а площадь их общей ч асти равна х, то площаДJl
�оответствующих неперекрывающихся частеI"f равны а-х
и Ь - х. Разность этих площадей р а в на, следовательно,

84