Page 73 - 1975_matematika-izium

360. Многоугольник на шахматной доске. ПУС То
шахматная доска состоит из квадратов со стороной,
равной 4. Пусть, далее, на эту доску бросают правиль­
ный 4n-угольник «радиуса» 1 1 . Определите вероятность
того, что этот многоугольник пересечет сторону какого­
либо квадрата.
361 . Целые числа, похожие на свои делители. У ка­
ких положительных целых чисел вида рn - 1 (р - п р о­
стое) все их делители имеют тот же вид?
362. Верно или нет? Докажите ил и опровергните
следующее утверждение: комплексное число z удовле-
I
творяет неравенству 1 z 1 - Rez � 2" в том и ТОЛЬК О том
случае, если z совпадает с произведением чисел ас, та­
ких, что I ё - а I � 1 .
363. Тригонометрическое тождество. Покажите, что
n I
2
С О Sn � - СОSn ,,; + • • • + ( - 1 ) n-1 СоSn ( - ) ,,; = nn � ! .
п п п ;;:
364. Лесенка из двоек. Фиксировав n, рассмотрим
«лесенку» из n ДBoeКi
2

2
2
2
Обозначим через N n число различных целых чисел, ко­
торые можно получить из этой лесенки подходящей
и недвусмысленной р а сстановкой вложенных друг
в друга скобок. Например, Nз = 1 , N4 = 2. Найдите Nn•
365. Замечательное свойство тройки. Покажите, что
если т и n - положительные целые числа, то наимень-
n т
шая из величин -Уm и -vп не может превосходить ,fjз.
366. Степень двойки. Покажите, что если число Z-m
записать в виде конечной десятичной дроби, то при этом
потребуется ровно т цифр 2_

I То есть единице равен р адиус окружности, описанноя во!<руг
этого многоугольника. - Прuм. перев.
2 См. пр имечани е на стр. 71.
14