Page 68 - 1975_matematika-izium

+ d = аlt+\. Н а iJдите объем тетраэд а с вершинами
р
в точках (ат, a�, a�), (a�, a�, аЮ, (a�, a�, a�), (a�lI' a� l' a� ).
2
326. Сильны ли вы в логике? Пусть S и Т - Hel<uTo­
ые множества. Обозначим через Р с.rlедующее утвер­
р
ждеllие: «ПО I<райней мере два элемента множества S
содержатся в Т». Известно, что отрицание J5 можно
сформу и р овать в виде: «По краilНей мере два элемеlпа
л
113 S не содержатся в Т». Какое заключение можно от­
сюда вывести?
327. Диагонали куба. Хорошо известно, что диаго­
нали квадрата взаимно перпенднкулярны Н, пересе­
кая с ь, делятся пополам. СправеДЛIlВЫ m1 аналогичные
утверждения для l1-мерного куба?
328. Попробуйте силы в комбинаторике. Докажите,
что
n n +
L L (_ I)i 1 ��l1i-// = 111
i=O /=0
329. Еще один криптарифм. Решите с.rlеJLУЮЩИЙ
КРИIlТарифм:
сниск
T R I G G
TUR N S
TR I C KS

330. Простые пары. Пусть 11 - HaTypa.ГfbHoe ЧИС.Гfо,
большее 3. докажите. что существует два "ечетных про­
с тых числа Р\ и Р2 , таких, что 2п - Р\ делится на Р 2
( е луч ай 211 - Р\ < О не псключается) .
3 3 1 . Предельные точки. Пусть А В С - равнобедрен­
IШЙ треуго.ГfЬНИК с прямым YГ.ГfOM при вершине С. Пусть,
далее, РО = А, Р\ = середине ВС, Р 11. = середине А Р 11.- 1
2
2
И Р 211.+1 = середине ВР " дЛЯ k = 1 . 2, 3, . , . . Покажите,
2
что последоватеЛЬНОСТII {P 1,} и {Р211+\} сходятся к точ­
2
кам, делящим гппотенузу на 3 р а вные части.
332. Свойство медиан. Пусть задан треуго.ГfЬНИК В С.
А
Пусть, далее, А ' , В' и С' ле а т строго внутри отрезков
ж
ВС, СА п А В , причем А А ' , ВВ' и СС' пересекаются
АО В О С О ,
в точке О, а ОА' = О ' = ОС' . Докажите. что АА ,
В
ВВ' и СС' представляют собой �Iедианы треУГОЛЬНlIка
69