Page 64 - 1975_matematika-izium

300. Вписанные многоугольники. Квадрат и треуголь­
ник р а вной площади вписаны в некоторый полукруг,
ПРllче:VI одна из сторон треугольника совпадает с диа­
метром этого полукруга. Покажите, что центр окружно­
СПI, ВПIlсанной в данный треугольник, леЖIIТ на одной
нз сторон данного квадрата.
1
30 . Тетраэдрическое неравенство. Пусть n треуголь­
JlИКОВ имеют одинаковые основания и известна сумма
всех нх боковых сторон. Доказать, что сумма высот
этих треугольников максимальна в том С.ГJучае, когда
1
все треуго.ГJЬНИКИ равнобедренны и р а вны между собой .
302. Знакочередующийся ряд. Докажнте, что знако­
чередующийся ряд

сх>
I (_ I)i+ 'П ( 1 + + )
1
i= 1
условно сходится, и найдите его сумму.
303. Задача о девяти точках. Пусть в единичном
квадрате задано 9 произвольпых точек. Покажите, что
среди всех треугольников, вершины которых р а споло­
жены в данных точках, есть по крайней мере один, чья
площадь не превосходит 1 /8. Обобщите этот результат.
304. Новое неравенство. Покажите, что для произ­
вопьных вещественных чисел aj > О и при любых целых
М, Р > о выполняется неравенство

] Это утвержденне в ОРИГIlнале IIСПОJlьзуется как промежуточ·
IIЫЙ этап Д:lЯ отыскання максимального значения ведиЧИНbI

где р; - расстояние от некоторой внутренней ТОЧКII Р праВIШЫЮГО
тетраэдра А А2АзА4 до его вершины А;, а Х;; - расстояние от Р до
]
ребра A , Aj• В связи с ошибкой в последующих рассуждениях
эта веЛllчина осталась неВblЧJlсденноЙ. Читатель может считать оты­
скание максимума л(Р) задачей 30 1 a , решение которой мне, впро­
чем, неизвестно *. - Прu,М. ред.
з Зак .. 753 65