Page 62 - 1975_matematika-izium

I1lУЮ теорему: ес.'ш в треугольнике Аве ортоцентр I Н,
центр 1 вписанной и центр О описанной окружностей
образуЮТ равносторонний треугольник, то
3
cos А + cos В + cos е = 2" '

ПреI<ратите мучения профессора, показав, что, во­
первых, треугольник НI0 не может быть равносторон­
нИМ и, во·вторых, что если выполняется соотношение
3
cos А + cos В + cos е = 2" ' то треугольника Н 10 вообще
не существует.
286. Обобщенные числа Ферма. Пусть k - ненулевое
2
це!lое число. Покажите, что числ а (2k) n + 1 , где n =:
= 1 , 2, . . . , взаимно просты.
287. Синус от косинуса. Докажите, что на интервале
(О, '/ 2Л) существует единственная пара чисел с < d та -
,
КНХ, чтО
s
n
sin cos c = С, co s i d = d.
288. Нуль многочлена. Пусть ' ( х) = хn+а , хn-Ч�
+ . . . + n, где 1 � , � а 2 � . , . � л � О. Пусть,
а
а
а
1
да!lсе, л - комплексный корень " такой, что I Л I �. .
ДОI<ажите, что л равен некоторому КОРНЮ з 1 *.
и
289. Замечательное число. Н а йдите такое число,
чтобы его дробная часть, его целая часть и оно само
образовывали геометрическую прогреССIIЮ*.
290. Ч и сла, кратные 27. Покажите, что числа
25n+l + 5n+2 делятся на 27 при n = О , 1, 2,
291. Число, не равное сумме квадратов. Докажите,
Что число 3h нельзя представить в виде суммы двух це­
дых положительных квадратов.
292. Еще одно неравенство в треугольнике. Дока ..
Жите, что в ПРОИЗDОЛЬНОМ треугольнике Аве выполn.
Пястся неравенство
sin А + sin В + sin С
sin А . sin В . sin С �
:::::э: 4 •
Причем равенство достигается только в случае paBHOCTO�
Роннего треУГОЛЬНИI{а.
------
J Точка lIересечения высот. - При/>!. ред.