Page 59 - 1975_matematika-izium

267. Сомнительное равенство. Утверждение «34 2 = 9 7»
можно сделать справедливым, вставив между цифрами
несколько алгебраических знаl{ОВ, например (-3 + 4) .
· 2 = 9 - 7. Можно л и придать смысл этому равенству, не
ВСтавля я НИI{aJ<ИХ знаков?
268. Разрезанный двенадцаТИУГОJlЬНИК. Разрежьте
правильный двенадцатиугольник на квадраты и равно­
сторонние треугольники.
Пусть Р\, Р2, • • • , PI2 - последовательные верши н ы

правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать
о пересечении диагоналей P1P9, P Pll И P4P12?
2
269. Ни одного вещественного корня. Покажите, что
уравнение
х2 х 3 х2n
1 + Х + 2г + зг + . . . + (2п)1 = О
не имеет вещественных корней.
270. Невозможный куб. Докажите, что ни в одной
системе счисления трехзначное число ааа не может
удовлетворять соотношению ааа = аЗ.
271. Диофантова система 1. Докажите, что система
{ а + Ь + с = х + у
w + Ь3 + с3 = хЗ + уЗ
имеет бесконечно м н ого решений в целых числах, об­
ладающих тем свойством, что а, Ь, с образуют арифме­
тическую п р огрессию.
272. ВЫЧИСJlение суммы. Пусть n - фиксированное
/ -1
1 1
"
ПО"10жительное число. Положим хо = n и х = n _ 1 � Х'
/
1=0
n-\
для j = 1, 2 , . . , n - 1. Вычислите сумму L Х/.
.
/=0
273. Неравенство в треугольнике. Пусть задан остро­
угольн ы й треугольник А в е. Выберем внутри него про­
извольную точку Р. Покажите, что РА + РЕ + ре �
2
� 3 Х (периметр треугольника, образованного точками
касания вписанной в Аве окружности со сторонами
А в е) .
1 Задачи 271-393 В ОРИГllнале книги ч. Тригга ОТСУТСТВУЮТ. ­
Пршr. ред.
60