Page 60 - 1975_matematika-izium

274. Упаковка квадратов. Пусть дан н а бор квадра­
тов, общая площадь которых равна 1 . Покажите, что
их можно уложить внутри квадрата со стороной. рав-
HO�' -V2, так чтобы ОllИ не перекрыва.гшсь. (Д.ГIЯ квад­
рата со стороной < -V2 это утверждение несправед·
ливо.)
275. Максимальное число. Пусть дано множество
различных комплексных чисел Zj, i = 1 , 2, . . . , п, удов­
летворяющих неравенству
l
m i n ! Zi - ZJ ! � тах ! Z ! '
i + J i
Найдите максимальное возможное n и для этого n все
MHO�KeCTBa. удовлетворяющие условию задачи.
276. Одна немультипликативная функция. При лю­
бом натуральном n обозначим через 'Б(П) число реше­
ний уравнения
X� + X� + . . . + X� = n
в целых числах Х , . Х 2. • • • , Хn• ПОЛОЖIIМ далее fs =
= (28) - " 8 ( П) . Известно, что при 8 = 1 . 2, 4. 8 функцпн
f8 МУЛЬТИПЛИl<ативна, то есть для любой пары взаИМIIО
простых натуральных чисел т и n выпол н яется р а вен­
ство fs(mn) = fs(m)fs(n) . Докажите, что fs не является
мультипликативной ни при ,<аком другом значении 8.
277. Комбинаторная задача. Найдите количество упо­
2
рядоченных н а боров (а" а , . • . , а n) из n натуральных

чисел, в которых
(i = 1 , 2, . . . , п).
278. Еще неравенство в треугольнике. Пусть биссект­
рисы внутренних углов треУГОЛЬНИI<а Т равны соответ­
Ст ве нно �a, �b, �c, его м е дианы - т а, ть, те, а р а диусы
его вписанной и описанной окружностей - , 11 R. Дока­
Жите, что

ГДе р - полупериметр данного треугольника Т, и что ра­
венство достигается в том и толыш том случае, если
треугольник Т - равносторонний.
279. П о следовательность составных чисел. Докажите,
"то ДЛЯ любого натурального n существует множество
6 1