Page 63 - 1975_matematika-izium

293. «Арифметика планет». РеШlIте следующнй крип�
тарифм:
ТНЕ
EARTH
VENUS
SA TURN
URANUS

NEPTUNE
294. Интересное уравнение. Пусть задано уравнение
у " = хУ. Ответьте на следующие вопросы:
а. Что представляет собой м н ожество положитель�
ных чисел Х, дЛЯ каждого из которых единственны м по­
ложительным решением у данного уравнения является
тривиальное решение у = Х?
б. Если м ы р а ссмотрим те значения Х, дЛЯ которых
существуют нетривиальные решения у данного уравне­
ния, то CKO.rIbKO таких нетривиальных решений при каж­
дОМ Х?
в. Если мы случайно выбеРtМ некоторое зна'-lение Х
из интерва.ГJ а (О, е) , то какова вероятность того, что со­
ответствующее lIетривиальное решение у будет лежать
в
в том же интер а ле?
295. Тригонометрическое неравенство. Докажите, что
для любого м н ожества вещественных чисе.ГJ {Ti}, где
i = 1 , 2, . . . , 11,
n
L COS (Tk - Т I) � О.
k, l =1
296. Подобные ромбы. Докажите, что все ромбы, ВПИ4
санные в данный прямоугольник, подобны.
297. Рациональное число. Образуем число Х =
• в десятичной системе следующим образом.
= Хо, ХIХ2ХЗ • •
Пусть Хо = 1 , а Хn представляет собой наимеНЬШIIЙ по­
ложительный остато!(, который получается при делеНИIl
Хо + ХI + . . . + Хn-I на 9. Покажите, что Х рационально.
298. Могут или нет? Могут ли величины -V sin 8 If
и
-Vcos8 одновременно прин м а ть р а циональные значения
для какого-нибудь 8 из интервала (О, л/2) ?
299. Одни единицы. Может ли н а туральное число,
которое в десятичной системе записывается с помощью
бk - 1 единиц, быть простым?

64