Page 65 - 1975_matematika-izium

305. Равнобедренный треугольник. Докажите, что
если для углов А, В , С не которого треугольника выпол�
няется соотношение

tg (А - В) + tg (В - е) + tg (е - А) = о,
то этот треугольник равнобедренный.
306. Восьмиугольник - из двух квадратов. Пусть
заданы два концентрических квадрата, соответствующие
стороны которых параллельны, а шющади находятся
в отношении 2 : 1 . Покажите, что если мы через Bep�
шины меньшего квадрата проведем отрезки, перпенди­
кулярные соответствующим диагоналям, то эти отрезки
н
вместе со сторо а ми БО.'1ьшего квадрата образуют пра­
ВШIЬНЫЙ восьмиугo.rIЬНИК.
307. Делимость н а 30. Докажите, что при любом це­
лом n выражение (115 - 11) делится н а 30.
308. Простая «игра». В следующем криптарифме

А
МА Т Н
MAGS
МАТН
ОАМЕ

I
слово ОАМЕ поставлено вместо некоторого простого
числ а . Н а йдите это число.
309. Соотношение между в ы сотами и сторонами.
Пусть Аве - остроугольный треугольник. Докажите,
I ha + h b + h
что 2 < а + Ь + с c < 1 , г де h а. h h с - высоты, а а, Ь ,
Ь.
с - стороны данного треугольника.
310. Объем параллелепипеда. Вычислите определп­
тель
a2 + b 2 - c2 - d 2 2Ьс - 2ad 2bd + 2ас
с
2Ьс + 2оо а ') - Ь 2 + 2 - d 2 2cd - 2аЬ
2bd - 2ас 2cd + 2аЬ а2 - 2 - с2 + d 2
Ь

1 GAME (англ.) - игра.
66