Page 61 - 1975_matematika-izium

IIЗ n составных чисел, образующих арифметичеCJ<УIO
м
прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаи н о
п р осты.
280. Что за формула? Н а йдите формулу для общеГI)
члена последовательности {хn } , определяемой pel<yp..
рентно:
xn = (n - l ) ( xn- + l xn-2), .. n ;;:; 4, x2 = 1 , хэ = 2 .

1
28 . Точки на отрезке. Пусть О = хо < ХI < . . . < Хn=
== 1 - точки, которые делят еДИНIIЧНУЮ окружность на n
частей (не обязате.IJЬНО р а вных) . Докажите или опро­
вергните следующее утверждение: существует такое це­
.'1 0 е составное число т, что в каждом из отрезков
[Xi, XHl], i = О, • . . , 11 - 1 содержится по кранней MelJe

l
одна несократимая дробь вида - .
т
282. Условие, определяющее параболу. Пусть на гра­
1
фш<е НСЛIIНейной функции f(x) заданы точки Р; (i =O, , .. ,
. , n) . Обозначим через tn; угловой Iюэффициент пря­
• .
мой, соединяющей точки Р; и РН 1 (мы ПО.'1агаем
-
Р n+1 = Р о) . Пусть далее f (х) функция, определенная
при всех вещественных Х и не равная тождественно
Jюнстанте. Докажите, что f ( x) является ,<вадратным
трехчленом, а ее график будет параболой в том и только
том случае, если па этом графин:е найдется такая точка
1
Ро, что для любых других n точек P , • • • • Рn того же
графика будет ВЫПО.IJНЯТЬСЯ соотношение
n
L (- l / tnt = О .
i =O
283. Полный квадрат. Н а йдите все целые числа х,
л
у, Z, при которых ве и чина 4Х + 4У + 4% предстаВЛ5Icf"
собой ПО.IJНЫЙ квадрат.
284. Суммирование. Пусть n� 2- произвольное це·
,, 1 1
лое число. Докажите, что � pq = 2" ' где суммирование
проводится по всем целым р, q, взаимно простым меж�д .
собоi'i II 7ЗКИМ, что О < р < q ::::;;;; п; р + q > п.
285. Несуществующий треугольник Умбуджо. С х:а
рактерным Д.IJЯ него упорством профессор Евклид Па
рацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следу
62