Page 66 - 1975_matematika-izium

311. Тригонометрический предел. Докажите, что пре·
1J.ел
1t
Нт " (...!... tg k ) P
n- I
2
n-+оо � n n
k=1
существует при р > 1 и не существует при р :::;;; 1 .
3 1 2 . Пересечение больших кругов. Докажите, что
если на сфере n р а зличных больших кругов пересе­
I{аются более чем в двух точках, то они пересекаются
по кр й ней мере в tn точках (n � 2; учитываются все­
а
возможные точки, общие по крайней мере двум из
кругов) .
3 1 3 . Хиппи и геометрия. Мистер Хиппи, заядлы й
искатель п р авды, слегка з а дремал н а уроке. П р оснув­
шись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что,
соединив между собой середины сторон произвольного
четырехугольника, можно получить параллелограмм.
Мистер Хиппи, дабы никто не п р евзошел его в умении
строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторо­
нах произвольного четырехугольника выбрать точки, де­
лящие эти стороны на 3 р а вные части, а затем такие
точки соединить между собой, то при этом снова полу­
чится параллелограмм. Какова вероятность того, что
мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других
точек, делящих стороны в з а данном отношении r и та­
ких, что, соединяя их между собой, мы получаем парал­
лелограмм независимо от длины сторон исходного че­
тырехугольника.
3 1 4 . Точки в треугольнике. Пусть внутри некотороro
треугольника задано конечное число точек. Соединим
эти точки между собой и с вершинами треугольника
так, чтобы полученные отрезки не пересекались и р а з­
бивали весь треугольник на меньшие треугольники. По­
кажите, что число таких м а леньких треугольников
всегда нечетно.
3 1 5. Хорды в шаре. Пусть в некотором шаре заданы
три взаимно перпендикулярные хорды Р В, CPD и ЕРР.
А
проходящие через одну точку. Определите радиус шара.
если известно, что АР = 2а, ВР = 2Ь, СР = 2с, DP ::::::II.
1::::: 2d, ЕР = 2е и РР = 2f.
3 1 6 . П и рожное с глазурью. Пирожное, сделанное
Б форме треугольной призмы с очень маленькой выео-
61