Page 72 - 1975_matematika-izium

351 . « Н евидимый» м-ногоугольник. Н а й дите тat{ую
область, ограниченную простым замкнутым м н огоуголь­
ником, чтобы для любых двух сторон данного много­
угольнИ\{а существовала бы внутренняя точка, из кото­
рой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни ИЗ
одной внутренней точки не должны быть видны все сто­
роны одновременно.
352. Касающиеся график". При каком значеШIII а
график ФУIIКЦIIИ аХ касается графика функции loga х?
353. Центр эллипса. Покажите. что ни у какого рав­
ностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с не­
равными осями) или описанного около него, центр не
может совпадать с центром эллипса.
354. Делимость на 1 2 0. Предположим, что а - I и
а + 1 - простые числ а (такая пара называется про­
СТЫ М I I близнецами) , большие 1 0 . Докажите, что аЗ - 4а
делится на 1 2 0.
355. Диагонали многоугольника. Н а йдите н а иболь­
шее возможное число пересечений диагоналей плоского
выпуклого n-УГОЛЬНИI<а.
356. Простой криптарифм. Каждая буква следую­
щего криптарифма поставлена вместо вполне определен­
ной десятичной цифры:
3 (В/DFОR) = 4 (FORB/D).

Восстановите исходную запись.
357. Палка внутри полусферы. Палка длиной d по­
l\lещена в полусферический чан диаметром d. Пренебре­
гая толщиной палки и считая, что сила трения отсут­
ствует, определите угол, который п а лка будет состав­
лять с диаметром в положении равновесия.
358. Построение с помощью циркуля. Пусть задан ы
две точки А и В, которые служат вершинами квадрата.
Найдите с помощью одного циркуля другие две вершины
этого квадрата.
359. Среднее арифметическое и среднее гармониче­
ское. В треугольнике со сторонами а, Ь, с прямая, сое­
диняющая центр тяжести с центром вписанной окруж­
ности, перпендикулярна биссектрисе угла, противоле­
жащего стороне с. Покажите, что среднее арифметиче­
ское чисел а, Ь, с р а в но среднему гармоническому чи­
сел а и Ь.

73