Page 178 - 1975_matematika-izium

252. Так называемая «малая теорема Ферма» утвер­
ждает, что ес.'!и р - простое ч и сло, а т не делится
на р, то mр- l = 1 (mod р) . И соотношение а2 + Ь2 = с 2
можно записать D виде

(аЗ-1 _ 1 ) + (Ь '-l - 1 ) = с2 - 2 = ( с3-1 - 1 ) - 1 .
Если бы н н а, н и Ь не делились н а 3, то каждое из
слагаемых, стоящих в левой части нашего равенства,
делилось бы на 3. Однако правая часть ни при каком
целом с не делится на 3. Следовательно, по крайней
м е ре одно из чисел а, Ь должно быть кратно 3 *.
253. В двоичной системе счисления наша сум а запи­
м
шется с помощью n единиц, к которым присоединен
м
один О. Если мы прибавим к сум е две единицы, то по­
лучим число, записывающееся в двоичной системе с по­
мощью одной 1, за которой следует n + 1 нуль. Сле­
м
довательно, данная сум а равна 2n+1 - 2.
254. Заметим прежде всего, что существует по край­
ней мере три различных расположения, удовлетворяю­
щие условию задачи, которые отличаются между собой
цветом квадратика, расположенного в центре.
Исследуем теперь различные логические возможно­
сти. Мы можем тремя способами заполнить левый верх­
ний угол. В каждом из этих трех случаев можно двумя
способами выбрать квадратик, стоящий во второй ячейке
первой строки, а затем еще двумя способами - квадра­
тик, стоящий в перв й ячейке второй строки. Выбрав
q
указанные три квадратика, мы можем только единствен­
ным образом заполнить остальные ячейки. ТaI�ИМ обра­
зом, существует всего 3 · 2 · 2 = 12 различных располо­
жений. Поворачивая квадрат, мы можем перевести r<аж­
дое из них в три других. Следовательно, всего суще­
ствует не более 1 2 : 4 = 3 существенно различных рас­
положений, а в сочетании со сказанным вначале это
означает, что IIХ ровно 3.
[У. Б е н с о н.]
255. Теорема Паппа утверждает, что если вершины
некоторогО шеСТИУГО.rrьника расположены, чередуясь, на
двух прямых, ТО ТОЧI<И пересечения противоположных
сторон этого шестиуГОJIьюrка I<ОЛЛlшеарны. Обозначим
через 1 точку пересечения диагоналей (центр) нашего

179