Page 181 - 1975_matematika-izium

260. Четвертую степень любого четного ч и сла можно
представить в виде 4k, а любого нечетного - в виде
4k + 1 . Следовательно, сумма четвертых степеней любых
четырех последовательных чисел имеет вид 4k + 2 и, оче­
видно, не может равняться четвертой степени це.l0ГО
чиr.ла.
2 6 1 . На рисунке показан для N = 3 путь, содержа­
2
щий 2N - 2 = 4 отрезка, проходящиiI через все 3 узлов
и оканчивающиiIся в точке Е. Если мы добавим два до­
полнительных (пунктирных) отрезка, оканчивающнеся
в точке Р, то получим искомый путь для N = 4. Если м ы
Х- - - х---х-- -х- - -х--+{]
•
I С _
;�-----...."..-----;�E
I
I I
� о I
I I
I I
I
х �
I
I I
I +
Х -4 - -О- --О--- ---о
F
добавим еще два отрезка, оканчивающиеся в точке Р, то
получим нужный путь для N = 5. На самом деле, такой
процесс добавления по 2 отрезка позволяет построить
искомый путь для случ я любого, сколь угодно боль­
а
шого, N.
[М. К л а м к и н , А. М. М, 62, 1 2 4 (February 1 9 55) .]
262. Умножив данное уравнение на 4 и прибавив за­
тем 1 к обеим его частям, м ы получим
4х4 + 4хЗ + 4х2 + 4х + 1 = (2у + 1)2.
При Х = - 1 , у = -1 или О; при х = О, У = - 1 , или О;
при х = 2, у = -6 или 5; при х = 1 , у не будет целым.
Это единстпенные 6 решений в целых числах данного
уравнения. Действительно, при х < - 1 или х > 2 левая
часть преобразованного уравнения будет больше
(2х2 + х) 2, но меньше (2х2 + х + 1 ) 2 . Поэтому ни при ка­
ком целом х из этих областей левая часть не может рав­
няться целому квадрату.
[Д. М а р Ш, А. М. М., 73, 895 (October 1 9 66 . ]
)
263. Число q = (Рl + Р2) /2 представляет собой сред­
нее арифметическое чисел РI и Р2; поэтому РI < q < Р2.
182