Page 184 - 1975_matematika-izium

П р оведем каждую из диагоналей Р.Р6, Р2Р9, РЗРd,
р,'рlI, Р5Р.О, Р7Р.2 дО пересечения с диагоналями, исхо­
дящими из соседних вершин. Углы Р�РзРв, РЗР',.Р II И т. д.
равны 600; поэтому треугольники, которые опираются на 6
чередующихся (через одну) сторон нашего двенадцати­
угольника, - равносторонние. Отсюда следует, что вер­
ШIIНЫ данного М l IогоугольнИ!<а служат вершинаl\lII квад­
ратов, построенных на остальных 6 сторонах (так КЮ<
углы P2P;jPS, Р ЗР2Р9 И т. д. равны 900) . Четвертые сто­
роны таких квадратов ограliичивают правильный шест!!­
р
УГОЛЬНИI<, котор й очевидным об а зом можно разбить
ы
Ilа 6 равносторонних треугольников. Таким образом, наш
двенадцатиуго.'IЬНИК удается разрезать на 1 2 IЮНГРУЭНТ­
I
IlblX раВНОСТОРОН/IНХ треУГОЛЬН I I ЮВ 11 6 конгруэнтных
квадратов.
Каждый из уг.'юв Р.Р.2Р", И Р.2Р.Р9 равен 450, так что
прямые Р'Р9 и P�P.2 совпадают с диагоналями квадрата.
Р2Рн представляет собой ось симметрии равностороннего
выпуклого шестиугольника, образованного двумя равно­
СТОРОННИМИ треугольниками и квадратом. Следовательно,
Р2Рн проходит через центр данного квадрата. Таl<ИМ об­
разом, прямые P1Pg, Р2Р I I И Р4Р'2 пересеl<аются в одно и
точке.
269. Если бы вещественный корень данного уравне­
ния существовал, то он равнялся бы отрицательному
числу, скажем, (-у) . Но
З
у2 у у 2n
1 - у + 2г - 3! + . . . + (2n)1 > е-У > О.
Следовательно, исходное уравнение не имеет веществен­
ных корней.
[Д ж. Л и п м э н , А. М. М., 67, 379 (Apr l I 9 60) .]
i
2
2
2
270. Поскольку аг + аг + а = аЗ , г + r + 1 = а . Лю­
бая цифра а в произвольной системе счисления всегда
меньше основания r этой системы. Следовательно, дан­
ное равенство не может выполняться ни при каl<ИХ а =1= О
и Г.
[ч. М а к к р а к е н мл., s. s. М., 52, 241 (March 1 9 52) .]
271 . Положим а = 3d, с = 2Ь - 3d. Тогда х + у = 3Ь
и второе уравнение можно представить в виде
(х - у)2 = (Ь - 8d)2 - 40d2•
185