Page 187 - 1975_matematika-izium

278. Заметим сначала, что
р4 (р 2 _ 1 г R) = р4 (р 2 _ 2 � . аьс ) = . 2 _ за ьс ) _
2
1
р (р
-
р 4S р
Ь
с
= рЗ (РЗ _ 32ЬС) = рЗ [(р - а)З + (р - )З + (р - )З],
где S - площадь треУГОЛЬНИI<а Т. Далее *
2 -J7i
. /
/3а = + 'v Р (р - а) � 'v Р (р - а) ,
. Г
ь с
причем равенство выполняется только в случае Ь = с.
Аналогично выражаются /3ь и /3е. Таким образом, /3� +
в
+ /3� +/3� � рЗ п:: (р - а)З], причем равенст о выполняется
D том И только в том случае, если треугольник равносто­
ронниlI. Далее,
� � 2Ь2
2
2 =
т = ( + 2с - а )
I
(
= '4 { Ь + с - а) ( Ь + с + а) + Ь2 + с2 - 2Ьс } =
I
Ь
с 2
= (р - а) р + '4 ( - ) .
Отсюда следует, что т1 � р (р - а), и равенство дости­
гается талыш при Ь = с. Аналогичные утверждения по­
лучаются для ть и те. Поэтому
з
m� + m� + m� � Р [ I: (р - а)З],
причем равенство достигается только в равностороннем
треугольнике.
(с. Р е й ч , А . М. М., 76, 198 (February 1 9 69) .)
279. Заметим, что если 2 � k � N, то N! + k - со­
ставное число. При любом заданном n выберем простое
число р > n и целое число N � Р + (n - 1 ) n!. Тогда це­
лые составные числа N! + р, N! + р + n!, . . . , N! + р +
+ (n - 1 ) n! будут образовывать арифмеТIIческую про­
грессию. Более того, если q - общий простой делитель
двух из этих чисел, то их разность jn! (О < j < n) дол­
жна делиться на q. Следовательно, q � n. Но отсюда вы­
текает, что N! делится на q, а значит, и р делится на :1,
а
что невозможно. 1 к им образом, все эти числа попарно
взаимно просты.
Г
[А. а Р I I С С С , А . М . М., 76, 1 9 9 (February 1969) .]
190